Дискретно-стохастические модели (Р-схемы)

В общем виде вероятностный автомат можно определить как дискретный контактный преобразователь, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти, в нем и может быть описан статически. Применение вероятностных автоматов имеет важное значение для разработки методов проектирования дискрет систем. Также для выяснения агоритмических возможностей систем для обоснования границ целесообразности использования таких систем, а также для решения задач синтеза по выбранным критериям дискретных стохастич-х систем. Рассмотрим множ-во G элементами которого являются все возможные пары (x_i, z_c) где x и z соответствующие элементы внутр состояния и элементы подмножества входных сигналов. Если сущест-т две ф-ции φ,ψ, то с их помощью осуществляется отображение G→y; G→z и говорят, что F=< z,x,y,Z,φ,ψ> определяется автомат детерминированного типа. Пусть Ф-множество всевозможных пар вида: (z_k, y_i), где y_i -- входное подмножество. Пусть в любой момент вр, любой эл-т множ-ва G, реализовывая на множестве Ф некоторые законы распределения:

элементы Ф (z1,y1) (z1,y2) (z_k,y_j-1) (z_k,y_j)

(x_i, z_s) b11 b12 b_k(j-1) b_kj

При этом сумма всех b=1. Где b_j – вероятность перехода автомата в состояние G_k и появления на выходе сигнала. Если он был в состоянии G_s и на его вход подавался сигнал x_i. Число таких распределений представляется в виде таблицы равное числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В, тогда четверка элементов Р<х,у,z,В> называется вероятностным автоматом. Пусть элементы подмнож-ва G реализуют некоторый закон распределения на подмножества у и z. Это можно представить:

эл-ты из у у1 у2 у_j-1 y_j

(x_i, z_s) q1 q2 q_j-1 q_j

эл-ты из z z1 z2 z_k-1 z_k

(x_i, z_k) z1 z2 z_k-1 z_k

z_k, q_k - вероятности перехода P-автомата состояния z_k и появления выходного сигнала y_k при условии, что Равтомат находится в состоянии z_s и на его вход подается сигнал x_i

Если для всех k и Gимеет место соотношение q_k z_i=b_k, то это автомат Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределения нового состояния Равтомата и его вых сигналов. Пусть теперь определение вых сигн Р автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данн момент вр. Пусть кажд эл-т выходного подмнож-ва реализуют распределение вероятностивыхода и имеет след вид:

эл-ты из у у1 у2 у_к

Z_k s1 s2 s_k

Здесь, где s_i – вероятность появления вых сигнала у_i, при условии, что автомат находится в состоянии z_k.

16. Аналитические методы анализа динамики мат. моделей систем: м-д возмущений.

Рассмотрим динамику популяций 2-х видов, взаимодействующих м/у собой по типу «хищник-жертва». Построим мат.модель, предполагая, что жертва может найти достаточно пищи для пропитания, но при каждой встрече с хищником последний убивает жертву.

х(t)-кол-во жертв; y(t)-кол-во хищников, x_B-кол-во рожденных жертв, x_d-естественная смертность жертв,

(x_B-x_d)*x(t) – скорость пополнения популяции жертв

x(t)*y(t) – число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от вероятности их встречи.

уравнение Лотки-Вольтерра

где γ<0, δ>0, γ - естественная смертность, δ - вероятность встреч.

Для полной постановки задачи зададим рассматриваемый промежуток времени , тогда кол-во хищников и кол-во жертв в нач время x(t₀)=x₀, y(t₀)=y₀

Поскольку аналитическое представление реш-я задачи (1.1) и (1.2) затруднительно, то используют приближенный м-д, основанный на теории возмущ-я.

Первый шаг состоит в определении стационарных точек (x_S, y_S), к-рые также наз-ся точками равновесия. В данном случае стац сост-е будет определяться:

т.к

, то

разложив равные части в ряд Тейлора, получим:

x(α+βy)=βx_S(y-y_S)…

y(γ+δx)=δy_S(x-x_S)…

В окрестности данной точки мы можем разбить исх. ур-я лин-ми:

x=βx_S(y-y_S)

y=δy_S(x-x_S), используя аппарат высшей математики, получим:

На рис. показано семейство подобных эллипсов с центром в точке (x_S, y_S), причем стрелками указываются направ-я соответствующие возрастанию времени.

17. Аналитический метод анализа динамики мат. моделей сис-м: м-д асимптотических разложений.

Рассмотрим задачу нахожд-я реш-й ММ сис-ы, описываемые диф. ур-ем:

для больших t (t>>1)

(1.1)

Известно, что интеграл сходится при t→ ∞ следовательно принимаем t=∞

(1.2)

Если ур-е (1.2) подставим в ур-е (1.1), то получим:

Получим второе приближение:

(1.3)

это выраж-е (1.3) подставим в (1.1), получим:

1 интеграл преобразовывается интегрированием по частям, а второе – по формуле тригонометрии, оставшиеся интегралы входят в величину

3 приближение: