Точки перегиба функций, выпуклость и вогнутость функции

Точка перегиба функции внутренняя точка x ₀ области определения f, такая что f непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x ₀ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Неофициальное: В этом случае точка (x ₀; f (x ₀)) является точкой перегиба графика функции, то есть график функции f в точке (x ₀; f (x ₀)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке: при x < x ₀ касательная лежит под графиком f, а при x > x ₀ — над графиком f (или наоборот)

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x ₀, имеет в x ₀ точку перегиба, то .

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f (x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и при , а , то функция f (x) имеет в x ₀ точку перегиба.

Выпуклость и вогнутость

свойство графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; в первом случае график функции f (x) обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) и сама функция называется выпуклой (рис. 1, а), во втором — график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой (рис. 1, б). Если существуют производные f '(x) и f "(х), то первый случай имеет место при условии, что f "(x) ≥ 0, а второй при f "(x) ≤ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки (рис. 2, a), а вогнутость (книзу) — тем, что дуга кривой лежит не выше касательной (рис. 2, б). Аналогично определяются В. и в. поверхности.

Рис. 1 к ст. Выпуклость и вогнутость.

Рис. 2 к ст. Выпуклость и вогнутость.