Геометрический смысл производной

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .

Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при

⇒ ⇒ .

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , то уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке будет иметь вид

, если .

Если же , то касательная к кривой y = f(x) в точке будет иметь вид , а нормаль

Производные от элементарных функций. Таблица производных.

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

Производные элементарных функций

Функция y = f (x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y = xn	y = n xn −1	y =(kx + b) n	y = n k (kx + b) n −1
y = x	y =1	y =(kx + b)	y = k
y = x	y =12 x	y = kx + b	y = k 12 kx + b
y =1 x	y =−1 x 2	y =1 kx + b	y =− k 1(kx + b)2
y = cos x	y =− sinx	y = cos (kx +b)	y =− ksin (kx + b)
y = sin x	y = cosx	y = sin (kx +b)	y = kcos (kx + b)
y = tg x	y =1 cos 2 x	y = tg (kx +b)	y = k 1 cos 2(kx + b)
y = ctg x	y =−1 sin 2 x	y = ctg (kx +b)	y =− k 1 sin 2(kx + b)
y = arcsin x	y =1 1− x 2	y = arcsin (kx +b)	y = k 1 1−(kx + b)2
y = arccos x	y =−1 1− x 2	y = arccos (kx +b)	y =− k 1 1−(kx + b)2
y = arctg x	y =11+ x 2	y = arctg (kx +b)	y = k 11+(kx + b)2
y = arcctg x	y =−11+ x 2	y = arcctg (kx +b)	y =− k 11+(kx + b)2
y = ax a 0 a =1	y = ax lna a 0 a =1	y = akx + b a 0 a =1	y = k akx + b lna a 0 a =1
y = ex	y = ex	y = ekx + b	y = k ekx + b
y = logax a 0 a =1	y =1 x lna	y = loga (kx + b) a 0 a =1	y = k 1(kx + b) lna
y = lnx	y =1 x x 0	y = ln (kx +b)	y = k 1 kx + b kx + b 0