Нечеткие отношения

Определения и операции над нечеткими отношениями. Переход или обобщение – от обычного отношения до нечеткого в принципе является таким же, как переход от обычного множества до нечеткого. Описание нечеткого отношения должно таким образом включать не только указание пар результирующего множества, но и числа из интервала [0,1], которые отображают степень выполнения нечеткого отношения для этих пар.

Определение нечеткого отношения. Нечетким отношением R на множестве X называется нечеткое подмножество декартового произведения , которое характеризируется функцией принадлежности .

Носителем нечеткого отношения R на множестве Х называется нечеткое подмножество декартового произведения , которое имеет следующий вид: .

Под носителем нечеткого отношения понимаем обычное отношение на множестве Х, которое связывает все пары (x,y) такие, для которого степень выполнения этого отношения >0. В случае конечного множества Х матрицу носителя можно получить, заменив в матрице первичного нечеткого отношения все не нулевые элементы единицами. Поскольку нечеткое отношение определяется как нечеткое множество, соответственно и ее множества уровня определяются следующим образом: .

Таким образом множество уровня нечеткого отношения R на множестве Х является обычным отношением на Х, в состав которого входят все пары (x,y), для которых степень принадлежности отношению не меньше чем . Матрица множества уровня получается путем замены в матрице нечеткого отношения элементов, значения которых не меньше – единицами, а другие – нулями.

Операции над нечеткими отношениями. Пусть на множестве Х заданы два нечетких отношения А и В. Нечеткие множества С=А⋃В,D=А⋂В называются соответственно объединением и пересечением нечетких отношений А и В, если функции принадлежности отношений C и D имеют следующий вид , .

Пусть на множестве Х заданы два нечетких отношения А и В. Нечеткое отношение В включает в себя нечеткое отношение А, если для них выполняются соотношение А⊑В, то есть для функции принадлежности для всех x,y X.

Дополнением нечеткого отношения R на множестве Х называется нечеткое отношение R’ с функцией принадлежности .

Обратным к нечеткому отношению R отношением R^-1 ,yRx↔xR^-1y на множестве Х называется нечеткое отношение с функцией принадлежности .

Максиминным произведением А○В нечетких отношений А и В на множестве Х являются нечеткие отношения, которые определяются следующей функцией принадлежности:

.

В случае конечного множества Х матрица нечеткого отношения А○В равна максиминному произведению матриц нечетких отношений А и В, то есть получается получаем с помощью тех же операций, как и матрицу произведения обычных отношений.

Максиминым произведением нечетких отношений А и В на множестве Х является нечеткое отношение, которое определяется следующей функцией принадлежности:

.

Максимультипликативным произведением нечетких отношений А и В на множестве Х является нечеткое отношение, которые определяются следующей функцией принадлежности:

.

Свойства нечетких отношений. Нечеткие отношения могут иметь свойства рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности.

Нечеткое отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если для произвольного выполняется равенство .

Для конечного множества Х главная диагональ матрицы рефлексивного нечеткого отношения состоит из единиц, как, например, для отношения «приблизительно равны» на множестве чисел.

Нечеткое отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для произвольного выполняется равенство .

Нечеткое отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если для произвольного выполняется равенство .

Антирефлексивным является отношение «намного больше» на множестве чисел.

Нечеткое отношение R на множестве Х называется симметричным, если для произвольного выполняется равенство .

Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного на конечном множестве, является симметричной относительно главной диагонали. Пример симметричного нечеткого отношения – это отношение «сильно отличается по значениям» на множестве чисел.

Нечеткое отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для произвольного выполняется равенство .

Антисимметричным является, например, нечеткое отношение «намного больше». Свойство антисимметричности может быть описано двумя следующими эквивалентными способами: или

Примечание, любое произвольное нерефликсивное (несимметричное) не является обязательно антирефлексивным (антисимметричным).

Нечеткое отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется соотношение .

Свойство транзитивности зависит от способа определения произведения нечетких отношений. Если максиминным, минимаксным и максимультипликативным произведением отношения R самого на себя обозначим соответственно , будет выполняться условие . Для произвольных x,y,z X будут выполняться неравенства , что и доказывает условие.

Таким образом нечеткое отношение, которое является минимаксно транзитивным, является транзитивным и с точки зрения других двух операций, а отношение, которое является максимультипликативно транзитивным, может таким и не быть с точки зрения других операций умножения. Для обычного четкого отношения максиминна и максимультипликативна транзитивности являются эквивалентными обычной транзитивности четкого отношения. Используя термин «транзитивность нечеткого отношения» - считается, что это максиминна транзитивность, то есть для произвольных x,y X для функции принадлежности транзитивного нечеткого отношения R на множестве Х выполняется условие:

.

Аналогично понятию транзитивного замыкания для четкого множества, выводится это понятие и для нечеткого отношения, следует лишь так же как и для транзитивности указать, по каким соотношениям рассчитывается произведение отношений.