Матричные игры с нулевой суммой. Платежная матрица игры

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

Во многих практических задачах возникают ситуации, когда требуется принять решение, не имея достаточной информации. Неизвестными могут быть как условия осуществления какой-либо операции, так и сознательные действия лиц, от которых зависит успех этой операции.

· Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух сторон и результат любой операции, осуществляемой одной стороной, зависит от действий другой стороны, называются конфликтными.

· Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, а математическая теория, помогающая принимать рациональные решения в конфликтной ситуации, - теорией игр.

· Конфликтующие стороны называются игроками, а действия, которые могут выполнять игроки, - стратегиями.

От реальной ситуации игра отличается тем, что в игре противники действуют по строго определенным правилам.

· Матричной игрой называется игра, осуществляемая по следующим правилам:

1. В игре участвуют два игрока;

2. Каждый из игроков обладает конечным набором стратегий;

3. Игра заключается в том, что каждый из игроков, не имея информации о действиях противника, делает один ход (выбирает одну из своих стратегий). Результатом выбора игроками стратегий является выигрыш и проигрыш в игре.

4. И выигрыш, и проигрыш выражаются числами.

· Матричная игра называется игрой с нулевой суммой, если в этой игре выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого игрока.

Каждая матричная игра с нулевой суммой имеет платежную матрицу. Для того чтобы построить эту матрицу, обозначим одного из игроков символом А, а другого – символом В, и предположим, что А₁, А₂,…, А_m – стратегии, которые может применять игрок А, а В₁, В₂,…, В_n – стратегии, которые может применять игрок В.

· Матричная игра, в которой у игрока А имеется m стратегий, а у игрока В – n стратегий, называется игрой типа .

Рассмотрим матрицу

,

у которой элементы равны выигрышам игрока А (и проигрышам игрока В) при применении игроками стратеги A_i и B_j соответственно.

· Матрица С называется платежной матрицей игры.

Пример 1.1. Игра, называемая «Открывание пальцев», заключается в следующем. Два игрока одновременно из сжатого кулака правой руки открывают по несколько пальцев. Общее количество открытых пальцев является суммой выигрыша, причем, если общее количество открытых пальцев четно, то выигрывает первый игрок, если же общее количество пальцев нечетно, то выигрывает второй игрок.

Составить платежную матрицу игры.

Решение. Поскольку каждый из игроков может открыть 1, 2, 3, 4 или 5 пальцев, то у каждого из них имеется по 5 соответствующих стратегий: стратегии А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ у первого игрока, и В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ – у второго. Таким образом, рассматриваемая игра является матричной игрой типа , и можно составить таблицу выигрышей, в зависимости от стратегий, применяемых игроками (Таблица 2.1.1):

Таблица 1.1

Из таблицы 1.1 следует, что платежная матрица игры имеет вид

.