Погашение долга в рассрочку

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашает­ся в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называ­ют амортизацией долга. Он осуществляется различными спосо­бами:

— погашением основного долга равными суммами (равными долями),

— погашением всей задолженности равными или перемен­ными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение п лет. В этом случае сумма, еже­годно идущая на его погашение, составит

D

d=—. п

Размер долга последовательно сокращается: Д D— d, D—2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачивае­мые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть для простоты проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый год и последующие годы они рав­ны Dgj (D — d)g, (D - 2d)g и т.д. Процентные платежи, как ви­дим, образуют убывающую арифметическую прогрессию с пер­вым членом Dg и разностью —dg.

Срочная уплата в конце первого года находится как

Y_x = Dg + d.

r_t-D_Mg+d₉ t= 1,..., л, (9.6)

где D_t — остаток долга на конец года /.

Остаток долга можно определять последовательно:

о,= о_ы- —.

' ^' п

Если долг погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

^г'=^-+-£•"*• ■■■■""■ <⁹⁷>

Остаток задолженности на конец года t в этом случае соста­вит

_ рп - 1
D_t = 0_М------------.

' ^' рп

ПРИМЕР 9.5. Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами пост-нумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 10% годо­вых.

Размер погашения основного долга 1000: 5 = 200 тыс. руб. в год. Ежегодные процентные платежи составят: 1000x0,1 = 100; (1000 - 200) х 0,1 = 80 и т.д. План погашения представлен в следующей таблице.

Как видим, со временем уменьшаются не только суммы расхо­дов по займу, но и соотношения процентов и сумм погашения ос­новного долга.

У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство — простота расчетов. Однако, как мы только что убедились, в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его, что часто является нежела­тельным для должника.

Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга по­стоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процен­тов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

К= D^g* Л, = const.

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более ред­ким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.

Задан срок погашения. Первый этап разработки плана пога­шения — определение размера срочной уплаты. Далее получен-

ная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы У равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к со­временной величине этой ренты, находим

D
У=—> (9.8)

где а„._а — коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком я.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины К и данных финансового конт­ракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По оп­ределению

</, = К" Dg.

Wt-'id^l + gf -d_{s_t;g, (9.10)

где s_tg — коэффициент наращения постоянной ренты постну-мерандо.

ПРИМЕР 9.6. Условия погашения займа те же, что и в примере 9.5. Однако погашение производится равными срочными уплата­ми, т.е. рентой постнумерандо с параметрами: У (неизвестная ве­личина), п = 5, д = 10%.

Находим: а_5;10 = 3,790787. После чего

1000 ^Y = V^^T = 263,797 тыс. руб. 3,79079

Далее определим

d, = 263,797 - 1000 х 0,1 = 163,797 тыс. руб. и остаток долга после первого погашения

D₁ = 1000 - 163,797 = 836,203 тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице.

Процентные платежи уменьшаются во времени, а суммы пога­шения основного долга систематически увеличиваются.

Продолжим пример. Допустим, необходимо найти сумму пога­шенного долга на конец третьего года погашения при условии, что план погашения не разработан. Для решения воспользуемся формулой (9.10). Находим s_3;10 = 3,31, сумма первого платежа определена выше — cf₁ = 163,794, таким образом,

W₃ = 163,794 х 3,31 = 542,169 тыс. руб.

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.

Заданы расходы по обслуживанию долга. Такая постановка за­дачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погаше­ния долга и достижении полной сбалансированности платежей.

Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Эта проблема подробно обсуждалась в § 5.4 (см. формулы (5.28)— (5.37)), поэтому не будем останавливаться на ней. Ограничим­ся лишь одной иллюстрацией. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим (5.29), где символ R за­менен на К, а / — на g: