Уточнена постановка задачі

Нехай на відрізку [а; b] визначено певний клас функцій {Р(х)}, наприклад клас алгебраїчних многочленів, а в точках х₀, х₁,..., х_n цього проміжку задано значення деякої функції y=f(x): y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),….y_n=f(x_n). Наближену заміну функції f на відрізку [а; b] однією з функцій Р(х) цього класу так, щоб функція P(х) в точках x₀,x₁,..., x_n набувала тих самих значень, що й функція f, тобто щоб Р(x_i)= у_i (і = 0, 1,..., n), називають інтерполюванням, або інтерполяцією. Точки х₀, х_i,..., х_п називають вузлами інтерполювання, функцію Р(х) — інтерполюючою функцією, а формулy у=P(х), за допомогою якої обчислюють значення функції f у проміжку [а;b], — інтерполяційною формулою.

З геометричного погляду задача інтерполювання полягає в знаходженні кривої у= Р(х) певного класу, яка проходить через точки площини з координатами (х_i, у_i)

(i = 0, 1,....,n) (рис.1.1.1).

Якщо функція Р(х) належить класу алгебраїчних многочленів, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, диференціювати й інтегрувати.

У деяких випадках доцільніше використовувати інші класи інтерполюючих функцій. Якщо, наприклад, функція f періодична, то функцію Р(х) природно вибирати з класу тригонометричних многочленів, а якщо функція f перетворюється в нескінченність у заданих точках або поблизу них, то функцію Р(х) доцільно вибирати з класу раціональних функцій.

Розглядатимемо лише задачу параболічного інтерполювання, яку сформулюємо так: в n+1 різних точках х₀, x₁,..., х_n задано значення

функції f: y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),…, y_n=f(x_n) і треба побудувати многочлен

( 1.29)

степеня n, який задовольняв би умови

(1.30)

Для визначення n+1 коефіцієнтів многочлена (1.29), який задовольняє умови (1.30), запишемо систему (n+1)-го лінійних рівнянь виду:

(1.31)

Ця система має єдиний розв'язок, бо її визначник є визначником Вандермонда, який не дорівнює нулю, бо вузли x_i=(i=0,1,…,n) різні. А тому й задача параболічного інтерполювання має єдиний розв'язок, тобто існує єдиний алгебраїчний многочлен виду (1.29), що задовольняє умови (1.30). Многочлен Р_n(х), який задовольняє умови (1.29), називають інтерполяційним многочленом, наближену рівність f(x)=P_n(x) –

інтерполяційною формулою, а різницю R_n(f,x)=f(x) – P_n(x) — залишковим членом інтерполяційної формули. Хоч інтерполяційний многочлен, що задовольняє умови (1.29), і єдиний, проте можливі різні форми його запису.

Інтерполяційний многочлен будують тоді, коли:

1) функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а треба знайти її значення для значень аргументу, яких у таблиці немає;

2) функцію задано графічно, наприклад за допомогою самописного приладу, а треба знайти її наближений аналітичний вираз;

3) функцію задано аналітичнo, але її вираз досить складний і незручний для виконання різних математичних операцій (диференціювання, інтегрування тощо).