Основные свойства определенного интеграла

1. 1. =0

Если а>b, то по определению = - (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, DXi=Xi-Xi-1<0

2. 2. = + (здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в доказываемые формулы существуют)

Доказательство: Допустим сначала, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы s не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если например с=х_m, то s можно разбить на две суммы: s= = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при l® мы и получим искомое равенство.

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем: = + , откуда учитывая (4) получаем = - = + , ч.т.д.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек x_I =k

Переходя к пределу при l®0 имеем = = =к = к ., ч.т.д.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ± . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек x_{I = ±} Так как = и = , то получаем что ₌ ± = ±