Метод множителей Лагранжа

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.

L=f+л1F1+л2F2+…+лmFm (4)

Функция Лагранжа.

Теперь находим экстремум этой функции. Здесь л1, л2,…лn –множители Лагранжа.

Предположим, что функция дифференцируема

L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,l1,l2,…ln)

Необходимые условия экстремума:

/d'L/d'u1=0...

/d'L/d'um=0

/d'L/d'x1=0... необходимые условия экстремума

\d'L/d'xn=0

\F1=0

\Fn=0

Эта система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.

Мо(u10,...,um0,x10,...,xn0)

lо(k10,...,лm0)

Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума

Пусть ф. u-f(x₁…..x_n) один раз дифференцируема в некоторой окрестн. (.) M₀ и 2 раза дифференцируема в самой (.)M₀. пусть кроме того M₀-стационарная (.) Тогда если d²u положительно определённая квадратичн. форма от переменных dx₁…..dx_n, то ф. имеет в (.)M₀ локальный минимум

Если d²u отриц. определённая квадратичн. форма, то ф. имеет в (.)M₀ локальный максимум

Если d²u знакопеременная квадратичная форма, то M₀ не явл. (.) экстремума

Замечание: при проверке критерия знакоопределённости квадратичной формы d²u мы анализируем матрицу А

d²u/dx₁² d²u/dx₂dx₁ ….. d²u/dx₁dx_n

А= d²u/dx₂dx₁ d²u/dx₂² ….. d²u/dx₂dx_n

…………………………………………

d²u/dx_ndx₁ …………………. d²u/dx_n²

Теор. Пусть ф. u=f(x,y) 1 раз дифференцруема в окрестности (.) M₀(x₀,y₀) и 2 раза в самой (.) M₀, тогда если в (.) M₀ выполняется условие d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx >0, то экстрем. В (.) M₀ существует, причём если d²u/dx² > 0, то M₀ (.) минимума; если

d²u/dx² < 0, то M₀ (.) максимума

Если d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx <0, то экстрем. ф. в (.)M₀ не существует.