Непрерывность функции N переменных

Понятие функции N переменный. Предел функции N переменных.

Ф-ии нескольких(многих) пер-ных,заданных на мн-ве G<Rⁿ, назыв правтло или закон,согласно которому в каждой точке х€Rⁿ ставится в соотвествии единственное число u€R’.

U=f(x)=x вектор=f(x1;x2;…xn)

G-область опр-ния,{u;u=f(x),x€R}-область значения.

По Гейне. Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при М®А), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn Отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.

По Коши: Число b называется пределом функии f(M) в точке А, если для любого числа e>0 можно найти такое число d>0, что для всех точек М множества {M} из d-окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<d) выполняется неравенство |f(M)-b|<e

Замечание. Также,как и в случае одной переменной,доказывается эквивалентность опр-ния предела по Коши и по Гейне,а также св-ва пределов,связанные с арифметич действиями.

[T] Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)±g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с¹0) имеют пределы в точке А, равные соответственно b±c, bc и b\c.

Замечание2.Опр-е не зависит от выбора нормы Rⁿ.

Замечание3. Аналогично случаю ф-ии одной переменной определяется в точке х0 справа и слева и пределы на ∞.

Ф-ия f(x) назыв непрерывной в точке х0€G,если limf(x)=f(x0) при х→х0,т.е.

Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0

Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен

Непрерывность функции N переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных

1)Пусть функция u=f(M) определена на множестве {M} н-мерного евклидова пространства. Возьмем точку АÎ{M}, любая d-окрестность которой содержит точки множества М.

2)Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке

Следствие: для непрерывных функций знак предела и функции можно поменять местами.

3)Непрерывность функции по Гейне: Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если для любой последовательности {Mn} сходящейся к А, соответствующая ей последовательность {f(Mn)} сходится к f(A)

4) Функция u=f(M) называется непрерывной в точке K, если для любого e>0 найдется отвечающее ему положительное число d, такое что для всех M принадлежащих {M}, удовлетворяющих условию р(М,А)<d выполняется неравенство |f(М)-f(А)|<e

5)Функция u=f(M) непрерывна на множестве {M} если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точки н-мерного евклидово пространства для которых функция u=f(M) не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва этой функции.

Приращением или полным приращением функции u=f(M) в точке А называется разность Du=f(M)-f(A)

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при M->0.

Непрерывность функции n-переменных по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке М (X1,X2,..Xn)

Зафиксируем все переменные этой функции, кроме одной, аргументу X1 дадим приращение Dx1, имеем:

Du=f(x1+Dx1, x2+Dx2,…Xn)-f(x1, x2,…Xn)

U=f(x1, x2,…xn)

Dx1U=f(x1+Dx1, …xn)-f(x1, x2,…Xn)

Причем Dx1 М’(x1+Dx1,…xn)Î{M

Аналогично выводится частное приращение функции по остальным переменным

D_хnU=f(X1,x2, …, Xn-1, Xn+ Dxn)-F(x1, x2,…Xn)

Функция u=f(x1,x2,…xn) называется непрерывной в т М(x1, x2, …xn) по переменной Хк, если частное приращение этой функции DхкU является б-м функцией при Dхк->0

Для непрерывных функций справедливые теоремы аналогичные теоремам о непрерывных функциях одной переменной:

1. функций Пусть функции f(M) и g(M) непрерывны на одном и том же множестве {M}

Тогда функции f(M)±g(M), f(M)*g(M) и f(M)\g(M) также непрерывна в точке F

(частное при g(A)¹)

Также справедливы:

1. теорема об устойчивости знака непрерывной функции

2. 2 теорема Больцано-Коши о прохождении любой непрерывной функции через промежуточ-

ное значение

3. 1 и 2 торемы Вейерштраса.