Связь потенциала и напряженности электростатического поля

Зная напряженность электростатического поля в каждой его точке, разность потенциалов между 1-й и 2-й точками этого поля можно вычислить следующим образом:

(2.4)

Здесь интегрирование ведется (в силу потенциальности электроста­ти­чес­кого поля) вдоль любой линии L, соединяющей 1-ю и 2-ю точки.

Если известно значение потенциала в любой точке поля, то напряженность его в какой-либо точке этого поля можно определить из соотношения

(2.5)

где - градиент потенциала, под которым подразумевается вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку поля, и равный по модулю производной от по направлению нормали к этой поверхности. То есть

(2.6)

В частности, в декартовой системе координат соотношение (2.5) имеет следующий вид:

(17)

Градиент потенциала характеризует быстроту возрастания потенциала в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. вдоль силовой линии. В формуле (2.5) знак «минус» показывает, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.

Потенциал φ электри­ческого поля, создаваемого точечным зарядом q определяется по формулой

(2.7)

где - электрическая постоянная; ε - диэлектрическая проницаемость среды; - радиус – вектор, направленный от заряда к рассматриваемой точке поля; .(Доказательство на лекции.)

Принцип суперпозиции. Если электри­ческое поле создается несколькими точечными зарядами, то согласно принципу суперпозиции, результирующий потенциал в любой его точке вычисляется по формуле:

(2.8)

Отметим, что при наложении полей напряженности складываются геометрически (по правилу параллелограмма), а потенциалы – алгебраически (как числа). Используя формулы (1.4) и (2.8), можно вычислить напряженность электрического поля, создаваемого любыми заряженными телами. Для этого заряженное тело разбивают на бесконечно малые части и, рассматривая каждую из них как точечный заряд, вычисляют напряженность поля по принципу суперпозиции.

Уравнение Пуассона.

Cвязь между потенциалом и напряженностью поля:

Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения (6.10)

Распишем теперь скалярное произведение векторных операторов «набла»:

Выражение () определяет оператор Лапласа .

Воспользуемся теперь теоремой Гаусса для вектора в дифференциальной форме (4.13):

Сравнивая выражения () и (), получаем уравнение Пуассона, определяющее связь между пространственным распределением заряда (плотностью заряда ) и потенциалом :

Или

Это одно из основных уравнений электростатики, которое позволяет найти потенциал электрического поля по заданному распределению (плотности) заряда.

Теорема единственности.

В теории доказывается, что уравнение () имеет единственное решение. Это утверждение называют теоремой единственности. Решение уравнения () в общем случае – сложная и кропотливая задача. Аналитические решения этого уравнения получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности существенно облегчает решение целого ряда электростатических задач. Смысл теоремы единственности можно сформулировать следующим образом: если решение задачи удовлетворяет уравнению Пуассона и граничным условиям (их мы обсудим в следующей главе), то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, каким бы способом (например, путем догадки) мы ни нашли его.

С физической точки зрения содержание теоремы единственности довольно очевидно: если предположить, что возможно не одно решение задачи, то существует не единственный потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке пространства поле определено, вообще говоря, не однозначно, т.е. мы приходим к физическому абсурду.