Методические рекомендации по решению задач. Рассматривается а) сложное движение одного тела, б) относительное движение нескольких тел

Рассматривается а) сложное движение одного тела, б) относительное движение нескольких тел.

Требуется установить соотношения между скоростями (линейными и угловыми), а также ускорениями (линейными и угловыми), при сложном или относительном движении тел.

Можно предложить следующий алгоритм решения:

1) Изобразить(или при наличии некоторого опыта представить) тело или систему тел в двух состояниях.

2) Из рисунка найти связь между перемещениями - линейными и угловыми.

3) Продифференцировать полученное соотношение по времени и учесть определения скорости и ускорения (линейных и угловых).

Пример 6. На клин с углом наклона a положен брусок. Под действием силы тяжести брусок опускается со скоростью v_б. Найти скорость клина.

Рис.17

Решение. 1) Под действием силы тяжести брусок движется вниз, вытесняя клин и заставляя его перемещаться вправо. Изобразим систему тел в двух состояниях (рис.18).

Рис.18

2) Обозначим перемещение клина s_к, а перемещение бруска s_б. Из рисунка легко найти связь между ними:

3) Продифференцируем полученное соотношение по времени

и учтем определение скорости

В результате получим уравнения кинематической связи

Пример 7. На горизонтальной плоскости находится катушка, на которую намотана нить (рис.19). Радиус намотанного слоя ниток равен r, наибольший радиус катушки равен R. Свободный конец нити перемещают с ускорением a_K. Найти ускорение центра масс катушки a_C и угловое ускорение ε, если катушка движется без проскальзывания.

Рис.19

Решение. Решим задачу в соответствии с приведенным алгоритмом.

1. Изобразимкатушку в двух состояниях.

Рис.20

2. Из рисунка найдем связь между перемещениями. Пусть центр масс С переместился на расстояние s_C. При этом точка А заняла нижнее положение, а радиус, соединяющий точки А и С повернулся на угол φ. При отсутствии проскальзывания длина дуги АМ равна перемещению центра масс. Учитывая связь между длиной дуги и углом φ, опирающимся на эту дугу, получаем

Найдем перемещение конца нити К. При повороте катушки на угол φ точка В заняла верхнее положение, в результате чего свободная часть нити увеличилась на длину дуги s_н = φ∙r. Следовательно, перемещение конца нити происходит, во-первых, за счет перемещения самой катушки, во-вторых, за счет увеличения свободного участка нити:

3. Дважды продифференцируем полученные соотношения по времени:

и учтем определения ускорения

В результате получим уравнения кинематической связи в виде

Из этих соотношений выразим искомые величины через данные условия задачи:

Вопросы для самопроверки

- Приведите определение абсолютного (сложного) движения точки.

- Абсолютное, относительное, переносное движение точки.

- Какое движение твердого тела называют простым?

- Какие системы координат выбирают при определении скоростей твердых тел при сложном движении?

- Какое движение считают переносным, а какое – относительным?

- Какое движение точки называется относительным и какое переносным?

- Сформулируйте теорему о сложении скоростей.

- В чем состоит различие между абсолютной и относительной производными векторной функции скалярного аргумента?

- Что выражает формула Бура?

- Как выражается вектор абсолютной скорости точки в общем случае ее движения?

- Назовите составляющие вектора ускорения при сложном движении точки.

- Как определяются модуль и направление ускорения Кориолиса?

- При каком сложном движении точки ускорение Кориолиса равно нулю?

- Дайте определение относительного, переносного и абсолютного движений точки, а также скоростей и ускорений этих движений.

- Как определяют абсолютную скорость точки в сложном движении?

- Как определяют абсолютное ускорение точки при непоступательном переносном движении и при поступательном переносном движении?

- Каковы причины появления кориолисова ускорения?

- Каковы модуль и направление кориолисова ускорения и при каких условиях кориолисово ускорение точки равно нулю?

- Какой вид имеет выражение абсолютного ускорения точки в случае, когда переносное движение представляет собой свободное движение твердого тела, и в случае, когда переносное движение является вращением вокруг неподвижной оси?

- Теорема о сложении ускорений точки в том случае, когда переносное движение является произвольным.

- Назвать случаи, когда кориолисово ускорение точки равно нулю.

- Сформулируйте определения абсолютного, относительного и переносного движений твердого тела.

- Как определить скорость произвольной точки тела, совершающего поступательное переносное и поступательное относительное движения?

- Что собой представляет результирующее движение при вращении тела одновременно в одну и ту же сторону вокруг параллельных осей?

- Что называется парой вращений? Чему эквивалентна пара вращений?

- Чему равна мгновенная угловая скорость тела, совершающего вращения вокруг пересекающихся осей?

- Какое движение тела называется винтовым? Сложением каких движений оно получается?

- Что представляет собой абсолютное движение тела, участвующего в нескольких вращениях вокруг сходящихся мгновенных осей?

- Как по уравнениям сферического движения твердого тела определяют его угловую скорость?

- Каковы проекции углового ускорения тела при сферическом движении на неподвижные и подвижные координатные оси?

- Чему равно абсолютное угловое ускорение твердого тела, вращающегося неравномерно вокруг двух пересекающихся осей?

- Какое угловое ускорение твердого тела называют поворотным и чему оно равно?

- Что характеризует поворотное угловое ускорение?

- Как определяют угловую скорость твердого тела, вращающегося вокруг двух параллельных осей в одну и разные стороны?

- Появляется ли поворотное угловое ускорение при неравномерном вращении твердого тела вокруг параллельных осей?

- Что называют парой угловых скоростей и при каком условии пара угловых скоростей эквивалентна поступательному движению? Чему равна скорость этого поступательного движения?

- Какие понятия из статики аналогичны угловой скорости вращения тела и скорости поступательного движения тела?