Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (линейная система) имеет следующий вид: (1) Где х1,х2,…,хn-неизвестные, а11,а12,…,аmn – коэффициенты системы, b1,b2,…,bm – свободные члены. У коэффициентов aij i-номер уравнения, j-номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Если все свободные члены b1,b2,…,bm равны 0, то система (1) называется однородной. Если хотя бы один из b1,b2,…,bm отличен от 0, система (1) - неоднородная. Система (1) называется квадратной, если m=n. Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел с1,с2,…,сn, которая при подстановке в систему вместо неизвестных х1,х2,…,хn обращает все уравнения системы в тождество. СЛАУ можно записать в виде (i=1,2,…,m) (2) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. СЛАУ
Пример. несовместная система. -неопределенная (х1=с, х2=5-3с) Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если имеют одно и то же множество решений. Запишем систему уравнений в матричной форме. А= (3), Х= (4), В= (5) Где А- матрица системы, Х- матрица-столбец переменных, В- матрица-столбец свободных членов. - матрица-столбец. Элементы этой матрицы-левые части системы (1). Т.о. систему можно записать в матричном виде: АХ=В (6) -А* = (А|В) расширенная матрица системы (1) Решение матричного уравнения (6) заключается в отыскании такого столбца (4), который при заданной матрице (3) и заданном столбце (5) обращает уравнение (6) в тождество. Систему (1) можно записать и в векторной форме: х1+ х2+…+ хn= Или, обозначая столбцы соответственно a1,…, a n,В a1x1+…+anxn=В (7) Т.о., решение СЛАУ можно трактовать как представление столбца В в виде линейной комбинации столбцов a1,…, a n. Т.о., в отношении системы (1) мы должны научиться устанавливать следующие факты: 1) является ли система (1) совместной; 2) является ли система (1) (в случае ее совместности) определенной или нет; 3) способ отыскания единственного решения совместной системы (1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности). Теорема Крόнекера-Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, Альфред Капелли (1855-1910) – итальянский математик). Для того, чтобы система линейных уравнений (1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой системы. Доказательство. Необходимость. Пусть r=rgA r£r(A|В). Поэтому достаточно показать, что ранг матрицы А не меньше ранга ее расширенной матрицы, т.е. r³r(A|В). Пусть система (1) совместна. Это означает, что столбец В= в расширенной матрице системе является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Без ограничения общности, пусть он будет расположен в верхнем левом углу, т.е. Мr= . По теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как "j>k существуют такие числа lijÎR, i=1,2,…,k a j=l1j a 1+l2j a 2+…+lrj a r, Где a j – j-й столбец матрицы А. Тогда столбец b = a1 x1+…+ ar xr+ a r+1xr+1+…+ a nxn= = a 1x1+…+ a rxr+(l1,r+1 a 1+l2,r+1 a 2+…+lr,r+1 a r)xr+1+…+(l1n a 1+l2n a 2+…+lr n a r)xn Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это значит, что Мr является также базисным минором расширенной матрицы (A|В), т.к. 1) он ненулевой; 2) если взять какой-либо окаймляющий минор М¢, то либо он будет минором матрицы А, т.е. ненулевым, либо он будет содержать столбец В и, следовательно, не может быть ненулевым, т.к. его столбцы линейно зависимы. Поэтому rg (A|В)=rg A. Достаточность. Пустьrg (A|В)=rg A. выберем в А базисный минор М. Тогда он будет базисным и в матрице (A|В). Значит, столбец В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a1,…, ar: В= a1 x¢1+…+ ar x¢r. Полагая x¢r+1=x¢r+2=…=x¢n=0, получаем решение x¢1,…,x¢n исходной СЛАУ, т.к. В= a1 x¢1+…+ ar x¢r= a1 x¢1+…+ ar x¢r+0ar+1+…+0an. Это означает, что СЛАУ совместна. Ч.т.д.
|