Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)





В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (линейная система) имеет следующий вид:

(1)

Где х12,…,хn-неизвестные, а1112,…,аmn – коэффициенты системы, b1,b2,…,bm – свободные члены.

У коэффициентов aij i-номер уравнения, j-номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Если все свободные члены b1,b2,…,bm равны 0, то система (1) называется однородной. Если хотя бы один из b1,b2,…,bm отличен от 0, система (1) - неоднородная.

Система (1) называется квадратной, если m=n.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел с12,…,сn, которая при подстановке в систему вместо неизвестных х12,…,хn обращает все уравнения системы в тождество.

СЛАУ можно записать в виде (i=1,2,…,m) (2)

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

СЛАУ

 
 

 


Пример. несовместная система.

-неопределенная (х1=с, х2=5-3с)

Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему уравнений в матричной форме.

А= (3), Х= (4), В= (5)

Где А- матрица системы, Х- матрица-столбец переменных, В- матрица-столбец свободных членов.

- матрица-столбец.

Элементы этой матрицы-левые части системы (1). Т.о. систему можно записать в матричном виде: АХ=В (6)

* = (А|В) расширенная матрица системы (1)

Решение матричного уравнения (6) заключается в отыскании такого столбца (4), который при заданной матрице (3) и заданном столбце (5) обращает уравнение (6) в тождество.

Систему (1) можно записать и в векторной форме:

х1+ х2+…+ хn=

Или, обозначая столбцы соответственно a1,…, a n

a1x1+…+anxn=В (7)

Т.о., решение СЛАУ можно трактовать как представление столбца В в виде линейной комбинации столбцов a1,…, a n.

Т.о., в отношении системы (1) мы должны научиться устанавливать следующие факты:

1) является ли система (1) совместной;

2) является ли система (1) (в случае ее совместности) определенной или нет;

3) способ отыскания единственного решения совместной системы (1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).

Теорема Крόнекера-Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, Альфред Капелли (1855-1910) – итальянский математик). Для того, чтобы система линейных уравнений (1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть r=rgA r£r(A|В). Поэтому достаточно показать, что ранг матрицы А не меньше ранга ее расширенной матрицы, т.е. r³r(A|В). Пусть система (1) совместна.

Это означает, что столбец В= в расширенной матрице системе является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Без ограничения общности, пусть он будет расположен в верхнем левом углу, т.е. Мr= .

По теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как "j>k существуют такие числа lijÎR, i=1,2,…,k a j=l1j a 1+l2j a 2+…+lrj a r,

Где a j – j-й столбец матрицы А.

Тогда столбец b = a1 x1+…+ ar xr+ a r+1xr+1+…+ a nxn=

= a 1x1+…+ a rxr+(l1,r+1 a 1+l2,r+1 a 2+…+lr,r+1 a r)xr+1+…+(l1n a 1+l2n a 2+…+lr n a r)xn

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это значит, что Мr является также базисным минором расширенной матрицы (A|В), т.к.

1) он ненулевой;

2) если взять какой-либо окаймляющий минор М¢, то либо он будет минором матрицы А, т.е. ненулевым, либо он будет содержать столбец В и, следовательно, не может быть ненулевым, т.к. его столбцы линейно зависимы. Поэтому rg (A|В)=rg A.

Достаточность. Пустьrg (A|В)=rg A. выберем в А базисный минор М. Тогда он будет базисным и в матрице (A|В). Значит, столбец В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a1,…, ar:

В= a11+…+ arr.

Полагая x¢r+1=x¢r+2=…=x¢n=0, получаем решение x¢1,…,x¢n исходной СЛАУ, т.к.

В= a11+…+ arr= a11+…+ arr+0ar+1+…+0an.

Это означает, что СЛАУ совместна. Ч.т.д.

Date: 2015-09-02; view: 420; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию