Исследование на выпуклость графика функции

Сначала несколько новых терминов. Предполагаем, что любая невертикальная прямая разбивает плоскость на «верхнюю» и «нижнюю» полуплоскости.

Пусть в x_o f(x) имеет касательную, непараллельную оси Оу. Притаком условии мы предполагаем дифференцируемость функции в это й точке.

Опр. Кривая выпукла (вариант - вогнута) в точке x_o, если в достаточно малой окрестности этой точки кривая расположена ниже (вариант – выше) касательной.

Опр. Кривая выпукла (вариант - вогнута) в интервале, если она такова в каждой точке интервала.

Пусть в x_o f(x) имеет касательную (в том чяисле и параллельную оси Оу).

Опр. Точка x_o называется точкой перегиба кривой у= f(x), если с одной стороны от точки x_o кривая у= f(x) выпукла, а с другой – вогнута.

Из определения следует, что в точке перегиба кривая пересекает касательную. На Рис.4.3. В точках x₂, x₃, x₆ нет перегибов, а в точках x₁, x₅ перегибы есть.

х₁ x₂ x₃ x₅ x₆

Рис 4.3. О точках перегиба

Теорема. Если f(x) в окрестности x₀ дважды дифференцируема, то необходимым и достаточным условием выпуклости (вариант – вогнутости) графика этой функции в точке x₀ является условие постоянства знака для f’’(x₀).

Док. Запишем формулу Тейлора для данной функции в точке x₀, ограничиваясь n=1 у_кр=f(x)= f(x₀)+ f’(x₀)(x- x₀)+0,5 f’’(C)(x-x₀)². Теперь запишем уравнение касательной к этой кривой в той же точке у_кас= f(x₀)+ f’(x₀)(x- x₀). Теперь вычислим у_кр- у_кас=0,5 f’’(C)(x-x₀)². Эта разность определяет взаимное расположение кривой и касательной к ней. Т.к. знак разности определяется только знаком второй производной от функции (остальные множители справа в равенстве гарантированно положительны), то можно рассуждать так.

Пусть требуется доказать необходимость в теореме; тогда, если кривая выпукла в точке x₀, то все точки кривой в окрестности этой точки расположены ниже касательной и потому левая часть равенства отрицательна; но в этом случае имеем постояннный отрицательный знак для f’’(x₀) (аналогично для вогнутого графика).

Пусть требуется доказать достаточность теоремы; тогда знак производной постоянен (пусть отрицателен); поэтому правая часть формулы отрицательна и потому все точки кривой расположены ниже точек касательной.

Следствие. Если f(x) дважды дифференцируема, то в точке перегиба ее графика верно равенство f’’(x)=0. Утверждение следует из предыдущей теоремы – касательная существует и единственна, а знак непрерывной f’’(x) меняется при переходе через точку и потому в точке равен нулю (см. свойства функции, непрерывной на промежутке и следствие из них).

Из всех этих рассуждений следует алгоритм исследования функции на выпуклость-вогнутость ее графика.

1-й шаг. Укажи область определения функции.

2-й шаг. Найди 2-ю производную функции.

3-й шаг. Реши уравнение f’’(x)=0 (найди нули 2-й производной).

4-й шаг. Точками, найденными в п.3. разбей область определения на промежутки.

5-й шаг. На каждом промежутке возьми точку и установи (узнай, выясни) знак 2-й производной в этой точке. Сделай вывод.