Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией

Если х Х по закону f ставится (ставят) в соответствие единственное действительное у У, то говорят, что на множестве Х задана функция аргумента х. Пишут так у=f(x).

( х Х читаем так: для любого х из множества Х)

Множество Х принято называть областью определения функции. Она может быть задана или ее находят, используя вид функции. Множество У называют областью значений. Иногда область значений находят или она известна.

Например, областью определения функции y=lnx являются положительные действительные числа (пишут так х>0). Областью значений этой функции будут все действительные числа.

В обозначении у=f(x) содержится двусмысленность. Дело в том, что f (закон) - это фактически перечень правил, в строгой последовательности выполнения которых получаем единственное действительное значение у для произвольно взятого значения х из Х. Т.е. записано «число равно закону», что фактичеки неверно, но исторически принято считать приемлемой такую запись. Поэтому часто в литературе можно встретить и запись вида у=у(х), что также считается приемлемым. Просто не следует забывать, что есть что в записи у=f(x) (или у=у(х)).

Рассматривают несколько способов задания функции. Аналитический – с помощью одной или нескольких «формул». При этом запись вида у=f(х) рассматривают как явный способ задания функции. Если же переменных х и у связаны уравнением с двумя переменными, то говорят о неявном способе задания функии (Фактически, записав у=f(х) в виде у-f(х)=0 или f(х)-у=0 мы получаем неявное задание функции). Если же переменные (аргумент и функцию удобно связать соотношениями то говорят о параметрическом задании функции (связь реализована через параметр t).

Из других способов задания функции отметим табличный способ и программный. В первом случае функция представляет собой таблицу с одним входом (столбец значений аргумента) и одним выходом (столбец значений функции). А во втором результат вычислений представлен либо цифровыми данным на экране или в файле.

Графиком функции называют кривую в избранной системе координат. При этом каждая точка кривой имеет координаты х и у, связанные законом f.

Опр. Пусть х Х R задана у=f(х). Пусть t T R задана x=ф(t). Тогда говорят, что на T задана сложная функция аргумента t и обозначают этот факт так y=f(ф(t)).

При этом х называют промежуточным аргументом, а t – основным. Закон f(ф(t)) называют наложением (суперпозицией) функций.

Пример 3.1. y=Sin ln(1-x²). Имеем функцию y=Sinz с промежуточным аргументом z=lnu, функцию z=lnu с промежуточным аргументом u=1-x² и функцию u=1-x² с основным аргументом х. Или просто сложную функцию у от аргумента х.

Пусть х Х R задана у=f(х). Пусть мы смогли решить уравнение у=f(х) относительно переменной х. Т.е. получили запись х=ф(у). Т.к. оба равенства у=f(х) и х=ф(у) дают один и тот же график, но во втором случае аргументом будет переменная у, это неудобно (не принято так писать). Тогда можно в записи х=ф(у) поменять местами переменные х и у и получить привычную запись функции у=ф(х).

Опр. Две функции у=f(х) и у=ф(х) принято называть взаимно обратными функциями.

Отмечаем, что областью определения функции у=ф(х) будет область значений функции у=f(х). А областью значений функции у=ф(х) будет область определения функции у=f(х). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно линии у=х (биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов декартовой системы координат).

К простейшим свойствам функций относят: монотонность, периодичность, четность и нечетность.

Опр. Приращением переменной называют разность двух ее значений. Приращений обозначают символом , за которым следует имя переменной. Например, х – приращение переменной х (или просто дельта х).

Опр. Если знаки приращения функции и аргумента в данной точке совпадают, то функция называется возрастающей в данной точке.

Аналогично дают определение убывающей в данной точке функции. Два этих понятия объединяют понятием монотонность.

Опр. Если f(x) определена на R и существует такое действительное Т 0, что f(x+Т)= f(x), то говорят, что f(x) периодическая с периодом Т

(Т- периодической).

Периодические функции обладают свойствами.

Если f(x) Т- периодична, то она и nT- периодична. Док. Имеем f(x+nT)= =f((x+(n-1)T)+T)= f(x+(n-1)T)= f((x+(n-2)T)+T)=…= f(x+T)= f(x).

Если f(x) Т- периодична, то функция ф(х)= f(аx) Т/a –периодична. Док. Имеем ф(х+ Т/a)=f(a(x+ Т/a))=f(ax+T)=f(ax)=ф(х).

Опр. Если f(-x) = - f(x), то функцию называют нечетной.

Опр. Если f(-x) = f(x), то функцию называют четной.

Внимание! При проверке свойства четности ответ следует давать только по четности. Это значит, что, если условие f(-x) = f(x) не выполняется, нельзя говорить ” Функция нечетная”, но следует говорить ”Функция не будет четной”, т.к. речь идет не о четных числах, а о свойстве четности. (Если проверяете пиджак, чистый ли он, то он может быть либо чистым либо грязным. И нет никакого дела, какого цвета пиджак).

При схематическом построении графиков функций следует использовать указанные свойства их. Помимо этого используют при схематическом построении (говорят о качественной картине без уточнения конкретных цифровых характеристик) наложение линейной функциональной зависимости на данную функцию. Это значит на основе базовой функции у= f(x) можно строить графики функций вида у=Аf(аx+b)+B. Выполним такое построение поэтапно, а затем запишем жесткий алгоритм построения графика функции у=Аf(аx+b)+B.

1.Пусть мы имеем базовый график (известный нам) у= f(x).

2.Для построения графика функции у= f(аx) достаточно график у=f(x) сжать вдоль оси Ох в направлении оси Оу в а раз при а>1 (растянуть график у=f(x) вдоль оси Ох от оси Оу в а раз при а <1). Если при этом а отрицательно, то следует деформируемый график еще и отразить в оси Оу.

3.Для построения графика функции у=Аf(x) достаточно график у=f(x) сжать вдоль оси Оу в направлении оси Ох в а раз при A<1 (растянуть график у=f(x) вдоль оси Оy от оси Оx в а раз при A>1). Если при этом A отрицательно, то следует деформируемый график еще и отразить в оси Оx.

4.Для построения графика функции у=f(x+м) достаточно сдвинуть базовый график у=f(x) на величину м вдоль оси Ох вправо, если м<0 и влево, если м>0.

5.Для построения графика функции у=f(x)+В достаточно сдвинуть базовый график у=f(x) на величину В вдоль оси Оу вниз, если В<0 и вверх, если В>0.

Общий алгоритм. Для построения графика функции у=Аf(аx+b)+B следует: переписать равенство в виде у=Аf(а(x+ ))+B; построить базовый график у= f(x); выполнить п.п.2 и 3 в любой последовательности; выполнить п.п.4 и 5 в любой последовательности.

Комментарий. При достаточном опыте построения графиков, последовательность можно изменить. Однако нужно помнить, что п.п. 2 и 3 не изменяют “точку опоры” (расположение начала системы координат) и потому последующий сдвиг легко и всегда правильно реализуется. Если же сначала произвести сдвиг кривой, то теряется возможность деформировать ее, т.к. становится неизвестным “куда сжимать”, хотя “вдоль чего” остается тем же. Неизвестной будет также ось отражения при необходимости.

Пример 3.2. Изобразите схематически (качественно) кривую

y= -3 .

Решение. Построим сначала базовую кривую y=x^1,5 . Это – парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точки (0;0) и (1;1) как и всякая типовая парабола. Для отрицательных х кривой нет и график расположен в 1-й четверти. Ветви параболы загнуты вверх т.к. 1,5>1. Рисунок базовой кривой представлен на Рис 3.1.

y=x^1,5

1 * (1;1)

1

Рис 3.1. Базовая кривая y=x^1,5

Теперь строим график функции y=-3 x^1,5. Растянув базовый график в 3 раза вдоль оси Оу от оси Ох и отразив его в оси Ох, получим кривую, представленную на Рис 3.2 –1. Масштаб возьмем несколько иной. Так как деформация и отражение завершены, можно выполнять сдвиг вдоль координатных осей: сдвинуть кривую на 1 вправо и опустить полученное на 2 вниз. Получим результативную (требуемую) кривую y= -3 .

Отметим, что на всех графиках нанесена точка, обозначенная символом *, но с разными координатами. Сделано это умышленно, чтобы можно было проследить за преобразованием графика по отдельно взятой точке, т.к. в противном случае при всех преобразованиях парабола остается параболой и качественная картина ее не меняется

1

-1

-----1 кривая y= -3x^1,5

-2

-3 * (1; -3)

2 ------

-5 * (2; -5)

Рис 3.2. Кривые: y=-3x^1,5 – 1; y= -3 2.