Группа перестановок. Знак перестановки

1^о. Знак перестановки.

Напомним, что если – множество из -элементов, , то перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение . Обозначение: – множество всех перестановок степени : .

Лемма 1. Число различных перестановок равно

Лемма 2. Множество перестановок образует группу относительно умножения . При этом тождественная перестановка − нейтральный элемент группы, симметричный элемент получается сменой строк. Группа − не коммутативная группа.

Отметим, что если в перестановке поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.

Углубим проведенное ранее исследование.

Определение 1. Пусть – перестановка степени и пусть . Тогда пара называется инверсией относительно , если .

Перестановка называется четной, если число инверсий относительно четное, и перестановка называется нечетной, если число инверсий − нечетное.

Знак перестановки – это ,где – число инверсий.

Обозначение: .

Таким образом, если – четная, то , и если – нечетная, то .

Пример. . Возможные пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.