Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Матрицы, определители, с-мы лин. ур-ний1.Матрица —прямоугольная табл. вида: (mxn). ---нижняя треугольная М. Св-ва: (А+В)+С=A+(В+C)---ассоциативность. А+В=В+А А+0=А А-А=А+(-А)=0 А=(аij) -число •А=( • аij) 1*А=А (А+В)= А+ В---дистрибутивность 2. А=АMxN согласованные В=ВNxR С=АВ С=СMxR Св-ва: 2.1. А•0=0•А=0 2.3. (АВ)С=А(ВС) 2.5. А(В+С)=АВ+АС 2.2. A•I=I•A=A 2.4. (А+В)С=АС+ВС 2.6. (АВ)=( А)В=А( В) А•В ≠ В•А --- в общих случаях Док-во к 2.3.: Аmxn Bnxk Ckxl D=AB ------ mxk; DC=mxl; E=BC -------nxl; AE=mxl 3. Если Ат=А, то А---симметричная. (аij=aji) Св-ва:3.1. (АТ)Т=А 3.2.( А)Т= АТ 3.4. (АВ)Т=ВТАТ 3.3. (А+В)Т=АТ+ВТ 4. Перестановкой из n эл-тов наз всякое положение эл-тов мн-ва М в определённом порядке (или упорядоченный набор этих эл-тов). Теорема1: Число всех перестановок из n эл-тов Pn=n! Док-во: n способов для заполнения 1-го места (n-1) для --//-- 2-го места Для двух мест n(n-1) --- способов. И т. д. 5. Перестановка наз чётной, если её число инверсий чётное (и наоборот). (инверсия – если , при i>j, то пара АЛи и АЛж образует ИНВЕРСИЮ) Теорема2: Транспозиция меняет чётность перестановки. Док-во: Транспозиция соседних эл-тов меняет чётность перестановки Была (…,АЛи,АЛи+1,…)---чётная. Стала (…,АЛи+1,АЛи,…)---нечётная Число инверсий при транспозиции соседних эл-тов меняется на 1, тем самым меняется чётность. 6. Определителем n-го порядка матрицы А называется число detА или |А| и равно алгебраической сумме всяких эл-тов, взятых ровно по одному из каждой строчки и каждого столбца, снабжённых знаком (-1)s+t, где s-число инверсий перестановки первых индексов данного произведения, а t- --//-- вторых индексов --//--, т. е. , , Св-во1: Определитель не меняется при транспонировании. Док-во: |Ат|=|А|
a’ --- транспонированное a 7. Св-во2: Если матрица А имеет нулевую строку, то её определитель равен 0. Док-во: Согласно общему определению определителя в каждом произведении будет множитель нуль, зн. и сумма равна 0. Св-во3: Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя, а зн. и столбца. Док-во: 8. Св-во4: Если в опр-ле поменять местами две строчки, то изменится знак опр-ля. Док-во: ; ; S-нечётное. Св-во5: Если в опр-ле есть две равные строки, то он равен 0. Док-во: Пусть в опр-ле m- тая и k -тая строчки равны. Поменяем их местами и получим: |А|=-|А| |А|=0 Св-во6: Если в опр-ле есть две пропорциональные строки, то опр-ль равен 0. Док-во: Если вынести коэффициент пропорциональности , то получим две равные строки, при этом опр-ль станет равным 0. 9. Св-во7: Если в опр-ле строка представлена в виде суммы вида , то опр-ль равен сумме двух опр-лей, у которых в m -той строке первые слагаемые у первого опр-ля и вторые слагаемые у второго опр-ля. Все остальные эл-ты остаются неизменными.
Док-во: Св-во8: u1, u2,…, uk---некоторые строки матрицы 1, 2,…, k R---числа 1u1+ 1u1+…+ 1u1---линейная комбинация строк u1, u2,…, uk Если в опр-ле явл. линейной комбинацией др. строк, то опр-ль=0 Док-во: (из св-ва 7) Св-во9: Если к какой-либо строке матрицы добавить другую строку этой матрицы, умноженную на число, то опр-ль не изменится. Док-во: (из св-тв 7-8). 10. Св-во10: Опр-ль ∆-ной матрицы равен произведению диагональных эл-тов. Св-во11: Опр-ль матрицы след. вида: , где А1,А2,…,АК---квадратные матрицы, Аi---блочные матрицы. 11. Теорема (о разложении опр-ля по эл-там строки) Сумма произведений эл-тов строки матрицы А на их алгебраические дополнения равна опр-лю данной матрицы. Док-во: В опр-ле матрицы А представим в виде суммы n слагаемых: ak1+0+0+…+0, 0+ak2+0+…+0, …, 0+0+…+akn Тогда:
Загоняем переставлением 1 на место [] и получим:
|