Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Матрицы, определители, с-мы лин. ур-ний





1.Матрица—прямоугольная табл. вида: (mxn).

---нижняя треугольная М.

Св-ва:

(А+В)+С=A+(В+C)---ассоциативность. А+В=В+А

А+0=А А-А=А+(-А)=0

А=(аij) -число •А=( • аij) 1*А=А

(А+В)= А+ В---дистрибутивность

 
 


2. А=АMxN согласованные

В=ВNxR

С=АВ С=СMxR

Св-ва:

2.1. А•0=0•А=0 2.3. (АВ)С=А(ВС) 2.5. А(В+С)=АВ+АС

2.2. A•I=I•A=A 2.4. (А+В)С=АС+ВС 2.6. (АВ)=( А)В=А( В)

А•В ≠ В•А --- в общих случаях

Док-во к 2.3.: Аmxn Bnxk Ckxl

D=AB ------ mxk; DC=mxl; E=BC -------nxl; AE=mxl

 
 


3. Если Ат=А, то А---симметричная. (аij=aji)

Св-ва:3.1. (АТ)Т=А 3.2.( А)Т= АТ 3.4. (АВ)ТТАТ 3.3. (А+В)ТТТ

4. Перестановкойиз n эл-тов наз всякое положение эл-тов мн-ва М в определённом порядке (или упорядоченный набор этих эл-тов).

Теорема1: Число всех перестановок из n эл-тов Pn=n!

Док-во: n способов для заполнения 1-го места

(n-1) для --//-- 2-го места

Для двух мест n(n-1) --- способов. И т. д.

 
 


5.Перестановка наз чётной,если её число инверсий чётное (и наоборот).

(инверсия – если , при i>j, то пара АЛи и АЛж образует ИНВЕРСИЮ)

Теорема2:Транспозиция меняет чётность перестановки.

Док-во: Транспозиция соседних эл-тов меняет чётность перестановки

Была (…,АЛи,АЛи+1,…)---чётная. Стала (…,АЛи+1,АЛи,…)---нечётная

Число инверсий при транспозиции соседних эл-тов меняется на 1, тем самым меняется чётность.

 
 


6. Определителем n-го порядкаматрицы А называется число detА или |А| и равно алгебраической сумме всяких эл-тов, взятых ровно по одному из каждой строчки и каждого столбца, снабжённых знаком (-1)s+t, где s-число инверсий перестановки первых индексов данного произведения, а t- --//-- вторых индексов --//--, т. е. ,

,

Св-во1: Определитель не меняется при транспонировании.

Док-во:т|=|А|

a’ --- транспонированное a

7. Св-во2: Если матрица А имеет нулевую строку, то её определитель равен 0.

Док-во: Согласно общему определению определителя в каждом произведении будет множитель нуль, зн. и сумма равна 0.



Св-во3: Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя, а зн. и столбца. Док-во:

 
 


8. Св-во4: Если в опр-ле поменять местами две строчки, то изменится знак опр-ля.

Док-во:

; ; S-нечётное.

Св-во5: Если в опр-ле есть две равные строки, то он равен 0.

Док-во: Пусть в опр-ле m-тая и k-тая строчки равны. Поменяем их местами и получим: |А|=-|А| |А|=0

Св-во6: Если в опр-ле есть две пропорциональные строки, то опр-ль равен 0.

Док-во: Если вынести коэффициент пропорциональности , то получим две равные строки, при этом опр-ль станет равным 0.

9. Св-во7: Если в опр-ле строка представлена в виде суммы вида , то опр-ль равен сумме двух опр-лей, у которых в m-той строке первые слагаемые у первого опр-ля и вторые слагаемые у второго опр-ля. Все остальные эл-ты остаются неизменными.

Док-во:

Св-во8: u1, u2,…, uk---некоторые строки матрицы

1, 2,…, k R---числа

1u1+ 1u1+…+ 1u1---линейная комбинация строк u1, u2,…, uk

Если в опр-ле явл. линейной комбинацией др. строк, то опр-ль=0

Док-во: (из св-ва 7)

Св-во9: Если к какой-либо строке матрицы добавить другую строку этой матрицы, умноженную на число, то опр-ль не изменится.

Док-во: (из св-тв 7-8).

 
 


10. Св-во10: Опр-ль ∆-ной матрицы равен произведению диагональных эл-тов.

Св-во11: Опр-ль матрицы след. вида:

, где А12,…,АК---квадратные матрицы, Аi---блочные матрицы.

 
 


11. Теорема (о разложении опр-ля по эл-там строки)

Сумма произведений эл-тов строки матрицы А на их алгебраические дополнения равна опр-лю данной матрицы.

Док-во: В опр-ле матрицы А представим в виде суммы n слагаемых:

ak1+0+0+…+0, 0+ak2+0+…+0, …, 0+0+…+akn

Тогда:

Загоняем переставлением 1 на место [] и получим:

 
 







Date: 2015-09-02; view: 224; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.011 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию