Теорема: об определителе произведения

Опр-ль произведения двух матриц равен произведению опр-лей этих матриц. |АВ|=|А|*|В|.

Док-во:

14. Обратной для данной матрицы наз. матрица А^-1, которая обладает след. св-вом: А*А^-1=А^-1*А=I

Как бы теорема (о единственности): Если для матрицы А сущ. обратная, то она единственная.

Как бы док-во: А^-1₁, А^-1₂ --- возможные обратные матрицы.

Как бы теорема(о вырожденной матрице): Если А---вырожденная, то обратной м-цы не существует.

Как бы док-во: А_ij ---алгебраические дополнения эл-тов a_ij матрицы А.

Составим присоединённую м-цу :

; ;

;

15. Св-ва обратных матриц:

1. (А^-1)^-1=А 2. (АВ)^-1=В^-1А^-1 (АВ)=(В^-1А^-1)=А(ВВ^-1)А^-1=АIА^-1АА^-1=I

3. (Аⁿ)^-1=(А^-1)ⁿ 4. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т (А^Т)(А^-1)^Т=(А^-1А)^Т=I^Т=I

16. Системой m линейных ур-ний с n неизвестными x₁, x₂,…,x_n наз.

, где ---матрица коэффициентов системы,

числа a_ij ---коэффициенты, b₁,b₂,…, b_n--- свободные члены, ---вектор-столбец,

АХ=b ---краткая запись. Реш-ем с-мы наз. совокупность чисел х₁=α₁,х₂=α₂,…,х_n= α_n, при подстановке которых получится правильное равенство. ---столбец решений.

Матричный способ решения:

А=А_nxn |A|≠0 --- невырожденная. Ах=b (2). Рассмотрим обратную матрицу А^-1. Умножим обе чести равенства (2) на А^-1. А^-1Ах=А^-1b; Ix=A^-1b x=A^-1b (3)

Чтобы получить решение с-мы (2) нужно умножить обратную м-цу на b. Если м-ца □ и невырожденная, то решение с-мы единственное.

17. Ф-лыКрамера: ; ; ; ;

---опр-ль м-цы, который получается заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

18. A=A_nxn. Отметим r сток и столбцов. Рассмотрим м-цу из эл-тов, находящихся на пересечении. Такая м-ца и её опр-ль наз. минором порядка r. Рангом матрицы А наз. наибольший из порядков миноров отличных от нуля. Такой минор наз. базисным. rgA ---обозначение ранга.

Св-ва ранга матрицы:

1. 2. 3. , то ---невырожденная. 4.

5. Если в м-це все миноры порядка k равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю.

Док-во к 5: минор порядка k+1 разложим как опр-ль по эл-там строки. Получим с точностью до знака сумму произведений эл-тов данного минора на миноры порядка k, которые равны нулю.

19. Теорема(о неизменности ранга при элементарных преобразованиях): Ранг м-цы не меняется при элементарных преобразованиях строчек и столбцов.

Док-во: 1. При перестановке миноры исходной м-цы либо не изменяются, либо поменяют знак. Тем самым все ненулевые миноры остаются ненулевыми, т. е. ранг не меняется.

2. При умножении строки м-цы на число , миноры содержащие эту строку увеличатся в раз. Набор ненулевых миноров не изменится, и зн. сохранится ранг.

20. A=A_mxn u₁, u₂,…,u_n ---строчки

Данная совокупность строк наз. линейно-зависимой, если сущ. числа (не все=0) такие, что (*). Если (*) возможно только в случае , то данный набор строк наз. линейно-независимым.

Св-ва: 1.Если в наборе есть нулевая строка, то он линейно-зависим. u₁=0, u₂,…, u_k≠0, .

2.Если к линейно-зависимой добавить какую-либо строку, то она будет линейно-зависимой

3.Если из лин.-завис. совокупности строк удалить строку, то получим линейно-независимую.

4.Если в совокупности есть одинаковые строки, то она будет линейно-зависимой

Теорема(критерий линейной зависимости): Совокупность строк линейно-зависима тогда и только тогда, когда одна из строчек явл. линейной комбинацией др. строчек.

Док-во: u₁, u₂,…,u_n --- линейно-зависимые. Покажем: u₁ ---линейная комбинация др. строчек.

Действительно, сущ. такие что .

Обратно: Пусть , зн.

21. Теорема(о базисном миноре): Строки и столбцы, на пересечении которых находятся эл-ты базисного минора, также наз. базисными. 1. Любая строка матрицы явл. линейной комбинацией базисных строчек.

2. Базисные строчки линейно-независимы.

Док-во к 1: Можно считать, что базисным явл. минор, состоящий из , расположенный в левом верхнем углу м-цы А. В противном случае можно переставить столбцы и строки так, что эл-ты базисного минора окажутся в левом верхнем углу. rgA=const.

i ---столбец j ---строка

, , , зн. при i и j.

Если i,j>r, то ---это минор порядка r+1, зн. =0

Если i и/или j ≤ r, то , т. к. имеются равные строки.

Разложим рассматриваемый опр-ль по эл-там последней строки: , где .

Коэффициенты не зависят от номера строки . Используя такие равенства при , можем записать: , т. е. j -тый столбец есть линейная комбинация базисных столбцов.

Док-во к 2: Предположим, что базисные строки линейно-зависимы, тогда одна из базисных строчек явл. линейной комбинацией др. строчек, тогда и в базисной матрице тоже самое, но в этом случае базисный минор =0, чего быть не должно.

22. AX=b (1)

Теорема Кронекера-Капели: (1)---совместная, когда ранг расширенной м-цы данной с-мы = рангу м-цы коэффициентов: rg(A|b)=rgA.

Док-во: существуют, то , ,

где ₁, ₂,…, _n---столбцы м-цы А. А=

,зн. столбец свободных членов явл. линейной комб-цией столбцов м-цы А.

Вычитая в (A|b) из последнего столбца соответствующую линейную комб-цию, получим (А|0). В результате ранг м-цы не меняется. rg(A|b)=rg(A|0)=rgA. Предположим rg(A|b)= rgA, зн. столбец свободных членов b не входит в число базисных столбцов расширенной м-цы. Согласно теореме о базисных минорах, столбец b явл. линейной комбинацией базисных столбцов, а зн. и всех столбцов матрицы А, т. е. совместность системы (1)

23. Ах=0 ---однородная с-ма.

Если Ах=b в столбце b есть один ненулевой эл-т, то неоднородная. Однородная всегда совместна.

--- тривиальное решение. Остальные решения, нетривиальные.

Теорема о сущ-нии нетривиального решения: С-ма линейных однородных ур-ний с м-цей коэффициентов mxn имеет нетривиальное решение тогда, когда rgA<n (n ---число неизвестных, A_mxn).

Док-во: Пусть сущ-ет ненулевое решение , Ах=0,

Тогда (не все ) ₁, ₂,…, _n---линейно-зависимые, не все базисные, зн. число базисных столбцов < n. rgA<n.

Св-ва множества решений: 1 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет нетривиальное решение если она вырожденная.

2 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет тривиальное решение если она невырожденная.

24. Теорема о структуре общего решения с-мы линейных однородных ур-ний: Пусть A=A_mxn, тогда система Ах=0 имеет n-r линейно-независимых решений, где r ---ранг м-цы А. Любое решение данной системы явл. их линейной комбинацией.

Док-во: rgA=r ---ранг. Сущ. r линейно-независимых столбцов м-цы, а остальные столбцы---их линейные комбинации. Без ограничения общности можно считать, что ₁, ₂,…, _r .

, ,…, ---эти решения линейно-независимы если составить из них м-цу, то последние n-r строк образуют минор М:

Совокупность n-r линейно-независимых решений наз. фундаментальной системой решений.

25. Теорема о структуре общего решения линыйных неоднородных ур-ний: A=A_mxn всякое решение неоднородной с-мы AX=b представлено так: , где ---некоторое частное решение, ---общее решение соответствующей однородной с-мы (AX=0).

Док-во: , ---решение

Пусть Х ---некоторое решение, тогда AX=b (1); AX^*=b (2). Вычитая (2) из (1) получим:

; ;

---фундаментальная с-ма решений