Дифференцирование неявно заданных функций

ПРИМЕР.

(1) - эллипс на плоскости OXY.

y

-a 0 a x

, такие, что удовлетворяют уравнению (1).

Таким образом, (1) определяет функцию y=f(x) (в данном случае двузначную). Такие функции называются неявно заданными. Примером неявно заданной функции двух переменных может служить функция, определенная уравнением конуса:

В общем случае:

а) .

б) .

в) .

df.1 Пусть и .Уравнение (2) разрешимо в окрестности если существует функция с областью определения и областью значений , что .

Следует иметь ввиду, что в определении 1:

df.2 Пусть уравнение F(x,y)=0, разрешимо в окрестности тогда уравнение (2) определяет неявную функцию в окрестности .

В общем случае неявная функция многозначная.

Если для (2) существует единственное решение, то (2) – однозначно разрешимо; и (2) определяет однозначную функцию.

Т.к. рассматриваются только однозначные функции, то далее термин «однозначная» опускается.

Th.1 (Достаточное условие существования и непрерывности неявно заданной функции F(x,y)=0)

1. .

2. , где -это окрестность представляет собой прямоугольник, в котором находится точка .

3. - строго монотонна на .

Тогда определяет однозначную функцию с областью значений , причем . (Б/Д).

Геометрический смысл

Кривая, заданная уравнением F(x,y)=0 в прямоугольнике D представляет собой проходящий через точку график однозначной, непрерывной и непрерывно-дифференцируемой функции y=f(x).

Th.2 (Достаточное условие существования и непрерывности неявных функций многих переменных)

Пусть:

1. .

2. .

3. .

Тогда, , что уравнение =0 определяет

однозначную непрерывную в функцию:

= , причем . (Б/Д).

Th.3 (Достаточное условие существования частных производных неявной функции)

Пусть:

1. .

2.

3. .

Тогда, существует неявная функция ,

.

(4)

Доказательство:

Существует непрерывная в окрестности функция

из теоремы 2, т.к. , то по достаточному условию дифференцируемости в точке F – дифференцируема в .

;

.

Пусть y=f(x), , т.к. F(x,f(x))=0,

.

Положим при

(*)

при . в силу непрерывности . Найдем предел (*) при (4). Непрерывность из теоремы о непрерывности сложной функции и арифметических действий.

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть:

1. .

2. .

3. .

Тогда, 1) неявная функция такая, что

2) , причем (5)

(5) следует из теоремы 3 при .

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

При решении практических примеров обычно дифференцируют уравнение =0, как сложную функцию. Затем решают уравнение относительно .

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

При отыскании второй производной (и т.д.) дифференцируем исходное уравнение дважды (и т.д.).

ЗАМЕЧАНИЕ 3.

Можно показать, что в условиях теоремы 3 неявная функция дифференцируема. Дифференциал находят k- кратным вычислением дифференциала от левой и правой частей уравнения.

ПРИМЕР.

Найти .

Пусть Дифференцируем по «x»:

.

Неявные функции могут задаваться системой уравнений. Пусть , тогда .

df.1 - декартово произведение пространств .

Рассмотрим систему уравнений:

(6) или

Введем важное определение:

df.2 Пусть матрица:

При m=n:

- определитель Якоби или Якобиан.

Th.4 Пусть:

1. .

2. .

3. .

Тогда: 1) Система (6) однозначно разрешима в и существуют неявные функции , причем .

2) . (Б/Д).

При решении практических задач необходимо непосредственно дифференцировать каждое уравнение, а затем решать соответствующую систему уравнений относительно соответствующих производных или дифференциалов.

Так например рассмотрим систему:

Тогда

Из системы следует: первый раз второй раз

Получим:

или

или

= . Аналогично находим: .

Умножим и сложим уравнения:

.

ПРИМЕР.

Найти .

Решение:

, каждый раз складываем уравнения:

,

Ответ: ; .