Предел последовательности в

Понятие предела сформулированного в п.1 в терминах расстояния переносится естественным образом на случай .

Пусть дана последовательность точек из : .

(1)

df.1 Последовательность (1) сходится к точке , если при .

df.1’ Т.е. , если

т.е. и обозначается:

Th.1 при .

Доказательство:

Т.к. и , причем между элементами: при . при , т.е. эта метрика стремится к нулю тогда и только тогда, когда будет поэлементная сходимость.

Из этой теоремы следует, что остаются справедливыми все теоремы в теории пределов (кроме связанных с неравенствами) для .

§ 3. ФУНКЦИИ НА .

Пусть множество . Нами были рассмотрены частные случаи функций.

(1)

(1) – действительная функция (скалярная функция) векторного аргумента . .

- есть действительная функция n - действительных переменных.

Нам известна функция , . Векторная функция скалярного аргумента:

;

Известна функция , .

.

Мы будем рассматривать функции вида (1). Точка и . D – область определения функции f(x). называется образом точки M, а M называется прообразом U.

Множество образов обозначается f(D). Если , то .

Если обозначим , то .

§ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .

Используя понятие расстояния в легко по аналогии с функциями одной переменной, дать определение предела функции .

Пусть определена в .

df.1 (По Гейне)

Число называется пределом функции f в точке , если

(1)

Обозначается:

(2)

.

df.2 (По Коши)

Число называется пределом функции f в точке , если

(3)

(4)

Эти два определения равносильны.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если n=2, т.е. рассматривается функция двух переменных и M(x,y), , то (2).

Если функция двух переменных f(x,y) определена в , а число есть ее предел при , то пишут:

и называют иногда число двойным пределом.

df.3 (Определение предела функции в точке)

Пусть некоторая предельная точка области определения D данной функции от n -переменных.

Число называется пределом этой функции в точке , если , что принадлежащих области определения функции, выполняется условие:

, т.е.

то, что функция f(M) имеет предел в точке записывается так:

или .

§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пусть и

df.1 (По Гейне)

Функция f называется непрерывной в точке , если , т.е. если:

(1)

df.2 (По Коши)

Функция f называется непрерывной в точке , если

(2)

Будем обозначать непрерывность в точке функцию так:

df.3 Пусть определена в . Полным приращением f в точке называется:

где .

Th.1 (Непрерывность сложной функции)

Пусть , ,

f -непрерывна в точке , , g – непрерывна в непрерывна в точке .

.

Доказательство аналогично функции одной переменной, непрерывной на сегменте. Аналогом сегмента в многомерном случае является замкнутое ограниченное множество (компакт).

Th.2 - непрерывна в точке .

(Б/Д).

Или если функция определена в некоторой окрестности точки M и непрерывна в точке M, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных . Обратное утверждение неверно.

df.4 Пусть , E – компакт - ограничено и замкнуто в .

df.5 Пусть , и f(x) –непрерывна называется непрерывной на E.

Обозначение: .

Функция f(M) называется непрерывной в точке , если предел этой функции в точке существует и равен частному значению .

Заметим, что поскольку , то условие непрерывности функции в точке можно символически записать в виде:

, т.е. для непрерывной в точке функции символ и символ f можно менять местами.

Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции или если функция неопределенна в точке и не является в ней непрерывной, то говорят, что есть точка разрыва.

§ 6. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.

Для функций многих переменных (Ф. М. П.) справедливы основные свойства функций одной переменной, но при этом следует иметь ввиду, что многие свойства f(x) существенно зависели от области определения. Так в формулировках многих свойств существенным было то, что функция задавалась на сегменте.

I. Th.1 Пусть , тогда:

1. .

2. .

3. .

4. Если дополнительно , то

Доказательство:

Из определения непрерывности и теоремы о пределе функций этого вида.

II. Th.2 Если , где E – компакт, тогда она:

1. Ограничена на нем: .

2. Принимает свое наибольшее и наименьшее значение: т.е. , такие, что .

3. , таких, что , такая, что (принимает все промежуточные значения).

4. f в E – равномерно непрерывна, т.е. ,

Пусть - метрические пространства, .

df. Функция называется равномерно непрерывной на множестве E, если

)

Th.3 (Теорема Вейерштрасса)

Пусть - компакт, тогда f ограничена на E и достигает на E своей верхней и нижней граней (наибольшего и наименьшего значений), т.е. .

§ 7. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

Пусть в некоторой (открытой) области D имеем функцию , возьмем точку . Примем y и z за постоянные значения и будем изменять x, тогда функция U будет функцией одной переменной (в окрестности точки ). Вычислим производную этой функции в точке . Придадим этому значению приращение , тогда функция получит приращение:

- это и есть частное приращение (по x).

По определению производной, она представляет собой предел:

- эта производная называется частной производной функции f(x,y,z) по x в точке .

В этом определении не все координаты равноправны, т.к. наперед фиксированы, а x меняется, стремясь к .

Частную производную обозначают одним из символов:

(круглым вместо прямого в обозначении частной производной предложил пользоваться Карл Густав Якоби (1804-1851))

.

Аналогично вводятся частные производные по .

df:

df:

Где - приращения функции соответственно по переменным .

Изложенные рассуждения для функции 3-х переменных остаются справедливыми и для функций любого числа переменных.

Рассмотрим функцию y=f(x), где или k=1.

Пусть f определена в некоторой окрестности точки .

df.1 Частным приращением в точке функции f по переменной называется , где .

Очевидно, если все переменные за исключение зафиксированы, то - есть функция одного переменного, т.е. .

df.2 Частной производной функции f по переменной в точке называется обычная производная функции f при всех фиксированных переменных кроме , т.е.:

, если этот предел существует. Очевидно, при n=1 это определение совпадает с определением обычной производной.

ПРИМЕР.

, т.е. имеем функцию двух переменных .

Из определения частных производных следует, что при их вычислении можно пользоваться всеми правилами вычисления обычных производных.

ПРИМЕР №1.

Решение:

.

Отметим, что при n=1 из существования производной следует непрерывность функции.

При даже, если существуют все частные производные f – необязательно является непрерывной.

ПРИМЕР №2.

Решение:

.

Геометрический смысл частных производных

Выясним геометрический смысл частных производных для функции , т.е. .

Геометрическим изображением данной функции является некоторая поверхность S.

Полагая, y=const, :

Получим некоторую плоскую кривую , представляющую собой сечение поверхности S соответствующей плоскостью, параллельной координатной плоскости XOZ.

Пусть MK – касательная к кривой в точке M(x,y,z). - угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси OX.

Т.к. , то на основании геометрического смысла обычной производной имеем:

Т. о. геометрический смысл частной производной есть тангенс угла наклона, образованного касательной к кривой, лежащей в пересечении поверхности и плоскости в точке и положительным направлением оси OX.

Аналогично, если -есть сечение поверхности S плоскостью и угол -угол, образованный с осью OY касательной ML в точке M(x,y,z) к кривой , то .

Физический смысл частной производной - это скорость изменения функции в точке M в направлении оси .

§ 8. ДИИФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пусть (1) определена в некоторой окрестности , .

df.1 Полным приращением функции f в точке , соответствующим приращениям аргументов, называется выражение:

При n=2

y

D

0 x

df.2 Функция называется дифференцируемой в точке и ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

(2)

Где - независящее от числа, а - бесконечно малое при функции, .

- расстояние между точками и .

Отметим, что запись (или ) эквивалентна записи при .

Условие (2) называется условием дифференцируемости функции в данной точке.

Если (векторная) функция f дифференцируема в точке , то будем писать если .

df.3 Пусть f – дифференцируема в точке . Дифференциалом функции f в точке главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения f в точке .

Обозначение .

ЛЕММА.

Если , где

.

Доказательство:

Действительно, при :

,

Пусть , но

.

Th.1 Пусть f дифференцируема в точке , тогда , или , тогда =

= .

Доказательство:

Согласно определению №3 и Лемме: , такая что:

(2)

Причем (2) справедливо , что . Пусть , отсюда при :

- бесконечно малое при .

По свойству пределов функции одного переменного (Необходимое и достаточное условия существования предела) (в обратную сторону неверно).

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть - дифференцируема в точке дифференциал f определяется единственным образом формулой:

Единственность следует из единственности производных.

Th.2 (Необходимое условие дифференцируемости)

Пусть - дифференцируема в точке f –непрерывна в точке или .

Доказательство:

Т.к. f – дифференцируема в точке , то и ; , т.к.

.

Предел правой части =0 при f непрерывна в точке (в обратную сторону утверждение не имеет смысла).

Th.3 (Достаточное условие дифференцируемости)

Пусть в и - непрерывна в точке - дифференцируема в точке .

Доказательство:

Проведем доказательство для случая , т.е. . Найдем приращение:

= (при- меним теорему Лагранжа)=

(в силу непрерывности )=

= .

или .

df.4 Функция, имеющая непрерывные частные производные на множестве G, называется непрерывно-дифференцируемой на G.

Обозначение: , то будем писать .