Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегрирование рациональных функцийРациональной называется функция вида , где и - многочлены степени и соответственно, . Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби , . При этом можно считать коэффициент при равным единице. Первым шагом при вычислении интеграла от функции такого вида является разложение знаменателя на множители , где - корни многочлена кратности соответственно, а трехчлены , не имеют действительных корней . При этом . Следующим шагом является представление дроби в виде суммы простейших дробей: . Здесь - некоторые числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов. Заключается он в том, что правая часть последнего равенства приводится к общему знаменателю. В числителе получившегося выражения получается некоторый многочлен степени , коэффициенты которого, выраженные через искомые константы, надо приравнять к коэффициентам многочлена . Получается система линейного уравнения. Рассмотрим пример . . Отсюда . Решая эту систему, получим значения , , , , . Поэтому . Есть другие методы нахождения коэффициентов разложения, которые не столь универсальны, как изложенный выше, но в в частных случаях бывают гораздо удобнее. Например, если знаменатель имеет только действительные простые (кратности один) корни, можно поступить следующим образом. . . Положим поочередно . Получим равенства . Отсюда . . Если знаменатель имеет действительные корни, среди которых есть корни кратности больше единицы, то поступим так: . . Положим , тогда . Теперь положим , получим . Осталось найти А. Продифференцируем предыдущее тождество: . Положим равным значению кратного корня, т.е. , тогда . . Итак, разбивая правильную дробь на простейшие, мы ее интегрирование сводим к интегрированию дробей следующих видов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Посчитаем интегралы от этих дробей: 1) ; 2) ; 3) . Здесь надо заметить, что так как - дискриминант квадратного трехчлена , не имеющего действительных корней, а значит, отрицательный. 4) . В последнем интеграле делается подстановка : . Вычисление такого интеграла рассмотрим в п. 6. Еще один способ вычисления интеграла - использовать рекуррентное соотношение, которое сейчас установим. . Например, посчитаем интеграл . Следовательно, вышеприведенный интеграл окончательно имеет вид: . Упражнение. Решить соответствующие задания из расчетно-графической работы.
|