Замена переменной

Котова И.А.

Интегрирование функций

одной переменной

Методические указания и задания

к выполнению расчетно-графической работы для студентов

экономического факультета

БРЯНСК 2012

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Утверждены редакционным

Советом БГИТА

Протокол N от ___________

Интегрирование функций

одной переменной

Методические указания и задания

к выполнению расчетно-графической работы для студентов

экономического факультета

Брянск 2012

Составител: Муравьев А. Н.

Котова И.А.

Компьютерный набор: Муравьев А. Н., Котова И.А.

Рецензент: к.ф.-м. наук, профессор Евтюхов К.Н.

Рекомендованы редакционной комиссией

механико – технологического факультета

Протокол N от __________________

Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с понятием неопределенного интеграла, его свойствами и методами интегрирования. Приводятся подробные вычисления интегралов на примерах. Приведены задания для расчетно-графической работы.

Методические указания предназначены для студентов 1-го курса экономического факультета.

Содержание

1. Таблица простейших интегралов ……………………………………… 3

2. Замена переменной ……………………………………………………... 5

3. Интегрирование по частям ……………………………………………... 8

4. Интегрирование рациональных функций ………………….…………. 12

5. Метод Остроградского …………………………………………………. 15

6. Тригонометрические функции ………………………………………… 20

7. Интегрирование иррациональных функций ………………………….. 22

8. Задания для расчетно-графической работы ……………………….….. 25

9. Примеры выполнения заданий РГР …………….……………………... 50

Таблица простейших интегралов

Определение 1. Функция F называется первообразной для функции f на множестве Х, если для всех . В дальнейшем множество Х указывать не будем. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Если первообразная для , то , где С - произвольная константа.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

; ;

; ;

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ

, , ,

, , ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Приведем некоторые примеры вычисления неопределенных интегралов.

.

Проверим результаты интегрирования. Найдем производную функцию от полученного результата.

Упражнение. Применяя таблицу простейших интегралов выполнить задания 1-5 из расчетно-графической работы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием.

Замена переменной

Используя формулу для дифференциала функции , с помощью замены часто удается упростить интегральное выражение вида

,

где - первообразная для функции .

Приведем некоторые формулы для преобразования дифференциалов:

, ,

, ,

, .

Рассмотрим несколько примеров.

.

.

Иногда при интегрировании функции, содержащей в знаменателе неразложимые квадратные трехчлены (с отрицательными дискриминантами), надо выделить в трехчлене полный квадрат. Общее правило выделения полного квадрата в неразложимом трехчлене:

.

Рассмотрим простейшие примеры.

.

.

Иногда удобнее проводить замену переменных в обратном порядке. Пусть и взаимообратные и непрерывно дифференцируемые функции. Если - первообразная для функции , то

.

Функция подбирается так, чтобы упростить подынтегральное выражение.

.

Если дробных степеней от выражений несколько, то делаем замену

,

где р – наибольший общий знаменатель всех показателей степеней.

.

При этом мы разделили на .

Вычислим еще несколько интегралов.

.

.