Формула Тейлора

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x ₀  (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x ₀ приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x ₀ можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P _n (x). Будем искать его в виде

(1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P _n(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3… n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x ₀ и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что

,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n -ым остаточным членом функции f(x) в точке x ₀. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x₀  (a, b) при всех x  (a, b) существует производная f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x), то для произвольной точки x  (a, b) существует точка, лежащая между x ₀ и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

где x  (x ₀, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x ₀ = 0, то она запишется в виде

где x  (x ₀, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

.