Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






П. 8 Классы интегрируемых функций





 

Теорема 1. .

Доказательство:

Пусть функция непрерывна на отрезке , Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке. Зафиксируем некоторое . Тогда для найдется такое , что для разбиения отрезка на отрезки , длины которых , все колебания функции на отрезках разбиения удовлетворяют условию . Отсюда получим при условии . Следовательно, для непрерывной функции на отрезке выполнено достаточное условие интегрируемости. Значит, существует определенный интеграл . ■

Теорема 2. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке , кроме конечного числа точек разрыва, то функция интегрируема на отрезке .

Доказательство:

Достаточно рассмотреть случай одной точки разрыва на отрезке . Пусть , , - колебание функции на отрезке . Возьмем любое достаточно малое и рассмотрим отрезки и . На каждом из этих отрезков функция непрерывна. Следовательно, найдется такое , что при разбиении их на частичные отрезки , длины которых , все колебания функции на этих отрезках разбиения удовлетворяют условию . Пусть . Рассмотрим произвольное разбиение отрезка на частичные отрезки , длины которых . Для этого разбиения рассмотрим , где первая сумма составляется по частичным отрезкам, целиком лежащих вне -окрестности точки , а вторая сумма – по отрезкам, либо целиком лежащих в этой окрестности, либо имеющих общие с ней точки. Тогда имеем .

Длины отрезков, целиком попавших в -окрестность точки , в сумме не превосходит . Число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше . Следовательно, . Таким образом, при условии . ■

Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на отрезке .

Доказательство:

Пусть для определенности функция монотонно возрастает на отрезке . Если , то независимо от разбиения отрезка . Если , то для некоторого возьмем . Пусть - произвольное разбиение, для которого . Тогда . ■

Date: 2015-09-02; view: 638; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию