Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
П. 8 Классы интегрируемых функций ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Теорема 1. . Доказательство: Пусть функция непрерывна на отрезке , Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке. Зафиксируем некоторое . Тогда для найдется такое , что для разбиения отрезка на отрезки , длины которых , все колебания функции на отрезках разбиения удовлетворяют условию . Отсюда получим при условии . Следовательно, для непрерывной функции на отрезке выполнено достаточное условие интегрируемости. Значит, существует определенный интеграл . ■ Теорема 2. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке , кроме конечного числа точек разрыва, то функция интегрируема на отрезке . Доказательство: Достаточно рассмотреть случай одной точки разрыва на отрезке . Пусть , , - колебание функции на отрезке . Возьмем любое достаточно малое и рассмотрим отрезки и . На каждом из этих отрезков функция непрерывна. Следовательно, найдется такое , что при разбиении их на частичные отрезки , длины которых , все колебания функции на этих отрезках разбиения удовлетворяют условию . Пусть . Рассмотрим произвольное разбиение отрезка на частичные отрезки , длины которых . Для этого разбиения рассмотрим , где первая сумма составляется по частичным отрезкам, целиком лежащих вне -окрестности точки , а вторая сумма – по отрезкам, либо целиком лежащих в этой окрестности, либо имеющих общие с ней точки. Тогда имеем . Длины отрезков, целиком попавших в -окрестность точки , в сумме не превосходит . Число отрезков, лишь частично попавших в эту окрестность, не больше двух, поэтому сумма их длин меньше . Следовательно, . Таким образом, при условии . ■ Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на отрезке . Доказательство: Пусть для определенности функция монотонно возрастает на отрезке . Если , то независимо от разбиения отрезка . Если , то для некоторого возьмем . Пусть - произвольное разбиение, для которого . Тогда . ■
|