Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример. Пример.Найдем интеграл, приводящийся к себе:
.
Пример. Найдем интеграл, приводящийся к себе: . Пример. Найдем интеграл, не принадлежащий к основным типам интегралов II случай. Рекуррентные формулы. . Таким образом, или .
5. Интегрирование рациональных дробей.
Как было показано раньше (Гл., п.) существует 4 типа элементарных дробей. Интегрируются они стандартным образом. I. . II. . III. . , . . Таким образом, IV. , , был построен в п. 4.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
Алгоритмы вычисления таких интегралов даются в прилагаемых ниже таблицах.
7. Интегрирование иррациональных функций. Алгоритмы вычисления таких интегралов даются в прилагаемых ниже таблицах.
п. 5 Конструкция определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на произвольных частей точками разбиения . В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим длину отрезка . Обозначим сумму , которую назовем интегральной суммой Римана функции на отрезке , соответствующей данному разбиению отрезка и данному выбору точек . Геометрический смысл интегральной суммы заключается в том, что это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотой (при выполнении условия ). Обозначим через длину наибольшего отрезка разбиения : . Определение 1. Если существует конечный предел интегральной суммы при и при условии, что он не зависит от разбиения отрезка и от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом Римана от функции на отрезке и обозначается . Другими словами, : . Нетрудно видеть, что мы дали определение интеграла Римана в духе определения предела по Коши. Будет полезным дать определение в духе определения предела по Гейне. Определение 2. Функцию , для которой существует предел , называют интегрируемой по Риману. Множество всех интегрируемых по Риману на отрезке функций обозначают .
п. 6 Суммы Дарбу и их свойства
Определение 1. Пусть функция f(x) ограничена на отрезке , и r – разбиение этого отрезка. Обозначим через , , . Тогда суммы и называют верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения r отрезка . Из определения ТВГ и ТНГ ( ) функции f(x) следует, что , т.е. .
Геометрический смысл сумм Дарбу Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию f(x) на отрезке . - площадь “описанной” ступенчатой фигуры, - “вписанной” ступенчатой фигуры. Следует отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка , в то время как интегральная сумма σ зависит еще и от выбора точек : при фиксированном разбиении отрезка суммы и - некоторые числа, а сумма σ – переменная величина, т.к. произвольны.
Свойства сумм Дарбу
1. Для любого фиксированного разбиения r и для любого точки на отрезках можно выбрать так, что сумма σ будет удовлетворять неравенству . Точки можно выбрать также и таким образом, что . Доказательство: Пусть r – некоторое фиксированное разбиение отрезка . По определению ТВГ для данного на отрезке можно указать такую точку , что . Умножим неравенство на и просуммируем, получим . Аналогично, . ■
2. От добавления к данному разбиению r отрезка новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается. Доказательство: Достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению r еще одной точки разбиения . Предположим, что точка попала в отрезок . Обозначим через и - нижние, а через и - верхние суммы Дарбу для данного разбиения r и нового . Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Обозначим через и ТВГ функции на отрезках и . В сумму входит слагаемое , а в сумму вместо него слагаемые . Остальные слагаемые в этих суммах одинаковы. Так как и , то . Отсюда получим . Аналогично . ■
3. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосходит верхней суммы Дарбу для любого другого разбиения .
Доказательство: Пусть и , и - нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений и . Рассмотрим разбиение , состоящее из точек, входящих в разбиения и . Обозначим его суммы Дарбу и . Так как разбиение может быть получено из разбиения добавлением к нему точек разбиения , то по свойству 2, учитывая , получим . Но разбиение может быть получено из добавлением точек . Поэтому . Отсюда , . ■
4. Множество верхних сумм Дарбу функции для всевозможных разбиений отрезка ограничено снизу, а множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем .
Доказательство: Это свойство непосредственно следует из свойства 3. Действительно, множество ограничено снизу, а множество ограничено сверху. Поэтому по принципу ТВГ и ТНГ они имеют точные грани. Обозначим , . Покажем, что . Пусть . Тогда положим . Из свойств точных граней следует, что существуют числа и ( - верхняя сумма Дарбу для разбиения , - нижняя сумма Дарбу для разбиения ) такие, что , . Отсюда получим . Но , поэтому или , что противоречит свойству 3. ■
|