Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение:

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков миноров матрицы A, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Алгоритм вычисления ранга матрицы:

• матрица приводится к ступенчатому с помощью элементарных преобразований;
• количество ненулевых строк в полученной матрице будет равно рангу первоначальной матрицы.

Свойства ранга матрицы:

• ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров;
• ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая;
• ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть все нулевые строки и столбцы;
• ранг матрицы не изменится при ее транспонировании;
• элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга