Определение. Матричным уравнением мы будем называть уравнение одного из видов:

Матричным уравнением мы будем называть уравнение одного из видов:

AX = B или XC = D,

где A, B, C, D - известные матрицы а X - неизвестная матрица. Имеется

в виду, что матрицы A и X в первом уравнении и матрицы X и C во втором уравнении имеют согласованные размеры (иначе эти уравнения не имеют смысла), матрицы A и B имеют одинаковое число строк, а матрицы C и D одинаковое число столбцов (иначе указанные уравнения заведомо не имеют решения).

Транспонируя обе части уравнения XC = D и используя свойство 3 транспонирования матриц (см. лекцию 3), получаем, что указанное уравнение равносильно уравнению C X = D. Таким образом, достаточно научиться решать матричные уравнения вида AX = B.

Рассмотрим уравнение AX = B, где A - матрица размеров m × k, а B - матрица размеров m × n. Ясно, что искомая матрица X должна иметь размеры k × n. Для всякого i = 1, 2,..., n обозначим через xi i-й столбец матрицы X, а через bi i-й столбец матрицы B. Из определения

произведения матриц вытекает, что равенство AX = B равносильно совокупности равенств Ax1 = b1, Ax2 = b2,..., Axn = bn. Каждое из этих равенств является матричной записью системы линейных уравнений с основной матрицей A. Таким образом, матричное уравнение AX = B равносильно совокупности n систем линейных уравнений (где n - число столбцов в матрицах B и X); основной матрицей всех систем является матрица A, в i-й системе столбцом неизвестных является i-й столбец матрицы X, а столбцом свободных членов i-й столбец матрицы B (i = 1, 2,..., n).

Удобно решать все системы вида Axi = bi одновременно с помощью метода Гаусса–Жордана. Если по крайней мере одна система оказывается несовместной, то матричное уравнение не имеет решения. Если все системы совместны и по крайней мере одна из них неопределенная, то матричное уравнение имеет бесконечно много решений. Если все системы определенные, то матричное уравнение имеет единственное решение.