Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость υ₀, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 – Д1.9, табл. Д1). На участке АВ, на груз кроме силы тяжести, действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила , проекция которой F _x на ось х задана в таблице. Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x = f(t), где x = BD.

Указания. Задача Д1 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. (Решение основной задачи механики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке AB, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t=0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменной х, учтя, что:

Таблица Д1

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действует сила тяжести и сила сопротивления ; движение от точки А, где υ₀=0, до точки В длится t₁ c. На наклонном участке ВС на груз действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу равен f) и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m=8кг, R=μυ², где μ=0,2 кг/м, υ₀=0, t₁=2c, f=0.2, F_x=16 sin (4t), α=30˚.

Определить: x=f(t) – закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы . Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

(1)

Далее находим P_z=P=mg, R_z=-R=-μυ²; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что υ_z=υ, получим

(2)

Введем для сокращения записей обозначение

(3)

где при подсчете принято g≈ 10 м/с². Тогда, разделяя в уравнении (2) переменные и взяв затем от обеих частей равенства интегралы, получим

(4)

По начальным условиям при t = 0 υ=υ₀=0, что дает С₁=(1/2n)×ln 1 =0. Введя еще одно обозначение

(5)

получим из (4)

Отсюда находим, что

(6)

Полагая здесь t=t₁=2 c и заменяя n и k их значениями (3) и (5), определим скорость υ_В груза в точке В (число е=2,7):

(7)

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость υ_В будет для движения на этом участке начальной скоростью (υ₀= υ_В). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Проведем из точки В оси Вх и Ву и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

или

(8)

где F_ТР=fN. Для определения N составим уравнение в проекции на ось Вy. Так как а_у=0, получим 0=N-mgcosα, откуда N=mgcosα. Следовательно, Fтр=fmgcosα; кроме того, F_x=16sin(4t) и управление (8) примет вид

(9)

Разделив обе части равенства на m, вычислим

g(sinα – f cos α)=g(sin30˚-0,2cos30˚)=3,2; 16/m=2 и поставим эти значения в (9). Тогда получим

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

(11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 υ=υ₀=υ_В, где υ_В дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

При найденном значении С₂ уравнение (11) дает

(12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x=1,6t²-0.13sin(4t)+15,7t+C₃. (13)

Так как при t=0 x=0, то C₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

(14)

где x – в метрах, t – в секундах.

Задача Д4

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ = 0,3 м, r₃ = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃ = 0,2м, блока 4 радиуса R₄ = 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. Д4.0 – Д4.9, табл. Д4); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F = f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s₁ = 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: υ₁, υ₂, υ_с5 – скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно, ω₃ и ω₄ – угловые скорости тел 3 и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис. 1), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если m₂=0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Указания. Задача Д4 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении Т для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение s₁, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Таблица Д4

Пример Д4. Механическая система (рис. Д4, а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ и r₃ и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃, блока 4 и груза 5(коэффициент трения груза о плоскость равен f). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Дано: m₁ = 8 кг, m₂ = 0, m₃ = 4 кг, m₄ = 0, m₅ =10 кг, R₃ = 0,3 м, r₃ = 0,1 м,

ρ₃ = 0,2 м, f=0,1, c=240 Н/м, M=0,6 Н×м, F=20(3+2s)Н, s₁=0,2 м.

Определить ω₃ в тот момент времени, когда s=s₁.

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные реакции , натяжение нити , силы трения и момент М.

Для определения ω₃ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

(1)

2. Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀=0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

. (2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим

(3)

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую ω₃. Для этого предварительно заметим, что υ_С1=υ₅=υ_А, где А – любая точка обода радиуса r₃ и что точка К₁ – мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим r₁. Тогда

(4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

(5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно

(6)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда точка С₁ пройдет путь s₁. Введя обозначения: s₅ – перемещение груза 5 (s₅=s₁), φ₃ – угол поворота шкива 3, λ₀ и λ₁ – начальное и конечное удлинения пружины, получим

;

;

;

Работы остальных сил равны нулю, так как точки К₁ и К₂, где приложены силы - мгновенные центры скоростей; точки, где приложены - неподвижны; а реакция перпендикулярна перемещению груза.

По условиям задачи λ₀=0. Тогда λ₁=s_Е, где s_Е – перемещение точки Е (конца пружины). Величины s_E и φ₃ надо выразить через заданное перемещение s₁; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда, поскольку ω₃=υ_А/r₃=υ_C1 /r₃ (равенство υ_С1=υ_А уже отмечалось), то и φ₃=s₁/r₃.

Далее, из рисунка Д4, б видно, что υ_D=υ_B=ω₃R₃, а так как точка К₂ является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится по участку нити K₂L), то υ_Е=0,5υ_D=0,5ω₃R₃, следовательно, и λ₁=s_E=0,5φ₃R₃=0,5s₁R₃/r₃. При найденных значениях φ₃ и λ₁ для суммы всех вычисленных работ получим

(7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что Т₀=0, придем к равенству

(8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость ω₃. Ответ: ω₃=8,1с^-1.

Рис.Д4

Задача Д9

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных сил в равновесии; положение равновесия определяется углами a, b, g, j, q (рис. Д9.0 – Д9.9, табл. Д9а и Д9б). Длины стержней механизма (кривошипов) равны: l ₁ = 0,4 м, l ₄ = 0,6 м (размеры l ₂ и l ₃ произвольны); точка Е находится в середине соответствующего стержня.

На ползун В механизма действует сила упругости пружины ; численно F = сl, где с — коэффициент жесткости пружины, l — ее деформация. Кроме того, на рис. Д9.0 и Д9.1 на ползун D действует си­ла , а на кривошип 0₁А — пара сил с моментом М; на рис. Д9.2—Д9.9 на кривошипы 0₁А и 0₂D действуют пары сил с моментами М₁ и М₂.

Определить, чему равна при равновесии деформация l пружи­ны, и указать, растянута пружина или сжата. Значения всех за­данных величин приведены в табл. Д9а для рис. Д9.0—Д9.4 и в табл. Д9б для рис. Д9.5—Д9.9, где Q выражено в ньютонах, а М, М1, М2 — в ньютон-метрах.

Построение чертежа начинать со стержня, направление которо­го определяется углом α; для большей наглядности ползун с направ­ляющими и пружину изобразить так, как в примере Д9 (см. рис. Д9, а также рис. Д9.10б). Если на чертеже решаемого варианта задачи прикрепленный к ползуну В стержень окажется совмещен­ным с пружиной (как на рис. Д9.10а), то пружину следует счи­тать прикрепленной к ползуну с другой стороны (как на рис. Д9.10б, где одновременно иначе изображены направляющие).

Указания. Задача Д9 — на определение условий равновесия механической системы с помощью принципа возможных перемещений. Механизм в рассматриваемой задаче имеет одну степень свободы, т. е. одно независимое возможное перемещение. Для решения зада­чи нужно сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элементарных работ всех действующих активных сил и пар на этом перемещении и приравнять ее к нулю. Все вошедшие в сос­тавленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.

Чтобы найти l, надо из полученного условия равновесия опре­делить силу упругости F. На чертеже эту силу можно направить в любую сторону

(т. е. считать пружину или растянутой или сжа­той); верно ли выбрано направление силы, укажет знак.

Таблица Д9а (к рис. Д9.0—Д9.4)

Таблица Д9б (к рис. Д9.5—Д9.9)

Пример Д9. Механизм (рис. Д9а), расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из стержней 1, 2, 3 и ползунов B, D, соединенных друг с другом и с неподвижной опорой О₁ шарнирами.

К ползуну В прикреплена пружина с коэффициентом жёсткости с, к ползуну D приложена сила , а к стержню 1 (кривошипу) — пара сил с моментом М.

Дано: α = 60 °, β = 0 °, γ= 60 °, φ = 0 °, θ = 120 °, l = 0,4 м, АЕ = ЕD,

с= 125 Н/см, М = 150 Н×м, Q = 350 Н.

О п р е д е л и т ь: деформацию λ пружины при равновесии механизма.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с за­данными углами (рис. Д9б); при этом согласно последнему из указаний к задаче Д9 прикрепляем пружину к ползуну с другой стороны (так, как если бы было β = 180°).

Для решения задачи воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому

(1)

где δA_k — элементарные работы активных сил на соответствующих возможных перемещениях.

Изображаем действующие на механизм активные силы: силу , силу упругости пружины (предполагая, что пружина растя­нута) и пару сил с моментом М.

Неизвестную силу F найдем с помощью уравнения (1), а зная F и учитывая, что F = cλ, определим λ.

2. Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму возмож­ное перемещение и введем следующие обозначения для перемеще­ний звеньев, к которым приложены активные силы: δφ₁ — поворот стержня 1 вокруг оси О₁, δs_D и δs_B — перемещения ползунов (то­чек) D и В.

Из перемещений δφ₁, δs_D, δs_B независимое от других — одно (у механизма одна степень свободы). Примем за независимое воз­можное перемещение δφ₁ и установим, какими тогда будут δs_D и δs_B, выразив их через δφ₁; при этом важно верно определить и направления δs_D, δs_B, так как иначе в уравнении (1) будут ошибки в знаках.

При расчетах учтем, что зависимость между возможными перемещениями здесь такая же, как между соответствующими ско­ростями звеньев механизма при его движении и воспользуемся из­вестными из кинематики соотношениями (ход расчетов такой же, как в примере КЗ).

Сначала найдем и изобразим δs_A (направление δs_A определя­ется направлением δφ₁); получим

(2)

Теперь определим и изобразим δs_D, учитывая, что проекции δs_D и δs_A на прямую АD должны быть равны друг другу (иметь одинаковые модули и знаки). Тогда

(3)

Чтобы определить δs_B, найдем сначала δs_E. Для этого построим мгновенный центр вращения (скоростей) С₂ стержня 2 (на пересе­чении перпендикуляров к δs_A и δs_D, восстановленных из точек А и D) и покажем направление поворота стержня 2 вокруг С₂, учтя направление δs_A или δs_D. Так как ÐС₂АD = ÐC₂DА = 60°, то DАС₂D равносторонний и С₂Е в нем высота, поскольку АЕ = ЕD. Тогда перемещение δs_E, перпендикулярное С₂Е, будет направлено по прямой ЕА (при изображении δs_E учитываем направление пово­рота вокруг центра С₂).

Воспользовавшись тем, что проекции δs_E и δs_A на пря­мую ЕА должны быть равны друг другу, получим (значение δs_E можно найти и составив соответствующую пропорцию)

(4)

Наконец, из условия равенства проекций δs_B и δs_E на прямую ВЕ находим и изображаем δs_B. Численно

δs_B = δs_E соs 60° = l₁ δφ₁соs 30° • соs60° = 0,43l₁ δφ₁. (5)

3. Теперь составляем для механизма уравнение (1); получим

(6)

или, заменяя здесь δs_D и δs_B их значениями (3) и (5) и вынося одновременно δφ₁ за скобки,

(7)

Так как δφ₁¹0, то отсюда следует, что

(8)

Из уравнения (8) находим значение F и определяем λ = F/с. Ответ: λ= 13,5 см. Знак указывает, что пружина, как и предпо­лагалось, растянута.

Задача Д10

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шки­вов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3—6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0—Д10.9, табл. Д10). Систе­ма движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Ра­диусы ступеней шкива 1 равны:

R₁ = 0,2 м, r₁ = 0,1 м, а шкива 2 - R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вра­щения равны соответственно ρ₁=0,1 м и ρ₂=0,2 м. Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса Р₁,..., Р₆ шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изобра­жать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).

Указания. Задача Д10 – на применение (к изучению движения системы) общего уравнения динамики (принципа Даламбера – Лагранжа). Ход решения задачи такой же, как в задаче Д9, только предварительно надо присоединить к действующим на систему си­лам соответствующие силы инерции. Учесть при этом, что для од­нородного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии (шки­ва), система сил инерции приводится к паре с моментом М ^и = J_zε, где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения, ε – угловое ускорение тела; направление М ^и противоположно направлению ε.

Таблица Д10

ПримерД10. Механическая система (рис. Д10) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса R₁ и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R₂ и r₂, радиус инерции относительно оси вращения ρ₂), а также из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к блоку 1.

Дано: P₁=0, P₂ = 30 H, P₃ = 40 H, P₄ = 20 H, M = 16 H×м, R₁ = 0,2 м, R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,15 м, ρ₂ = 0,2 м.

Определить ускорение груза 3, пренебрегая трением.

Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, - идеальные.

Для определения а₃ применим общее уравнение динамики:

(1)

где - сумма элементарных работ активных сил; - сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы , и пару сил с моментом М. Задавшись, направлением ускорения , изображаем на чертеже силы инерции и пару сил инерции с моментом , величины которых равны:

(2)

3. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение (1), получим

(3)

Выразим все перемещения через

(4)

Подставив величины (2) и (4) в уравнение (3), приведем его к виду

(5)

Входящие сюда величины ε₂ и а₄ выразим через искомую величину а₃:

Затем, учтя, что δφ₂¹0, принимаем равным нулю выражение, стоящее в (5) в квадратных скобках.

Из полученного в результате уравнения найдем

Вычисления дают следующий о т в е т: а ₃ = - 0,9 м/с². Знак указывает, что ускорения груза 3 и других тел направлены противоположно показанным на рис. Д10.

Список рекомендуемых источников

Основная литература

1. Бать М.И., Теоретическая механика в примерах и задачах./ М.И. Бать, Г.Ю. Джапаридзе, А.С. Кельзон. - Т. 1, 2. — М., 1964 [и последующие издания].

2. Кепе О.Э. Сборник коротких задач по теоретической механике/ О.Е. Кепе. — М.: Высшая школа, 1989.

3. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике: учебное пособие/ И.В. Мещерский. — М., 1986 [и последующие издания].

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: учебник/С.М. Тарг. — М., 1994.

5. Яблонский, А.А., Никифорова, В.М. Курс теоретической механики/А.А. Яблонский, В.М. Никифорова.— Ч. 1. — М.: Высшая школа, 1971 [и последующие издания].

Дополнительная литература

6. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики/ Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин — Ч.1,2. — М.: Наука, 1971 [и последующие издания].

7. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики/Н.М. Бухгольц. — Ч. 1. — М.: Наука, 1965.

8. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики/ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. — Ч.1,2. — М.-Л.: Физматгиз, 1952.

9. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: учебник/ Никитин Н.Н.— М.: Наука, 1990.

10. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие / под ред. А.А. Яблонского. — М.: Наука, 1998.