Физические или определяющие уравнения

Система дифференциальных уравнений равновесия или статики

Имеем систему трех дифференциальных уравнений в частных производных. Система содержит шесть неизвестных, которые однозначно определить только из этой системы невозможно. Т.е. задача статически неопределима.

Система дифференциальных геометрических уравнений или система уравнений Коши

Эта система даёт связь между компонентами деформации и компонентами перемещения. Система включает 9 функций (3 компоненты перемещения + 6 компонентов деформации). Все эти функции однозначно определить из этой системы определить невозможно. Система геометрически неопределима.

Физические или определяющие уравнения

Они устанавливают взаимосвязи между компонентами напряжений и деформаций для определённой среды с известными механическими свойствами. Принципиальное значение начинают выполнять реологические свойства среды: упругие, пластические, вязкие или их сочетания. Для среды с различными реологическими свойствами структура физических уравнений может быть однотипной, подобной уравнениям обобщённого закона Гука.

, где

Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга) – модуль упругости на растяжение;

G – модуль упругости второго рода – модуль упругости на сдвиг;

m – коэффициент Пуассона – коэффициент поперечной деформации.

Получили замкнутую систему уравнений для определения НДС в деформируемой упругой среде. Для того чтобы физические уравнения учитывали пластическую деформацию, вместо констант упругости используют модули деформации: Е’, G’, m’ (это величины переменные, они зависят не только от материала, но и от уровня достигнутой деформации).

5. Поясните парадоксальность теории пластичности как научной дисциплины.

Парадокс – кажущееся противоречие, которое разрешается после выяснения сущности явления.

Теория пластичности – это ветвь механики или механика пластически деформируемых твердых тел. Она имеет меньшую общность, т.к. рассматривает только твердые тела.

Тело – это часть пространства, выделенное из него некоторой граничной поверхностью и заполненное определенным материалом или средой.

С позиции МСС среда заполняет тело непрерывным или сплошным образом.

Деформация – это изменение формы и размеров тела под действием внешних факторов. Основной вид воздействия – силовой.

Различают упругую и пластическую деформации.

Упругая деформация – это такая деформация, которая после снятия вызвавших ее нагрузок устраняется, т.е. тело восстанавливает первоначальные форму, размеры. Следовательно, упругая деформация является обратимой (накапливается и исчезает). Примером такой деформации служит деформация: мяча, эспандера, пружины, колеса, любых резиновых изделий и др.

Пластическая деформация – это такая деформация, которая после снятия нагрузки сохраняется, остается и тело сохраняет деформированный вид. Важно отметить, что при этом не происходит разрушение твердого тела, т.е. при пластической деформации тело ведет себя подобно жидкости. Это и является парадоксом (кажущееся противоречие) пластической деформации твердых тел. Твёрдые тела по определению удерживают размеры и форму Пластическая деформация – остаточная и необратимая.

Можно найти и создать такие особые условия, в которых любое твёрдое тело становится квазижидким, то есть переходит в пластическое состояние.

6. Какое противоречие позволяет разрешить условие пластичности?

Это 5 вопрос + это:

Противоречие состоит в консервативности форм и размеров твердого тела.

Упругое деформирование в любой среде происходит при любых сочетаниях действующих компонентов напряжений. Поэтому никакого специального условия для начала упругой деформации не требуется. Для начала и нормального протекания пластической деформации (остаточного изменения формы тела без его разрушения) требуется выполнение определенного условия.

Условие пластичности это определенное соотношение и уровень напряжений, при котором начинается деформация твердого тела.

При произвольном НДС деформируемое твердое тело приходит в пластическое состояние тогда, когда интенсивность напряжений в соответствующей окрестности достигает величины предела текучести.

Используя выражение интенсивности напряжения:

в главных осях

,

в произвольных осях

.

Подставив в выражение , получим условие пластичности Губера-Мизеса

в главных осях

,

в произвольных осях

.

Физический смысл условия пластичности Губера-Мизеса состоит в том, что каким бы ни было НДС, для достижения пластического состояния твердого тела потенциальная энергия в каждой единице его объема должна достичь определенного фиксированного уровня. В связи с этим условия пластичности Губера-Мизеса называют энергетическим.

Условие пластичности Треска-Сен-Венана имеет наиболее простой вид:

при .

Пластическое состояние достигается тогда, когда разность между максимальным и минимальным нормальными компонентами достигает предела текучести.

Конечный вид условия пластичности , где .

Таким образом промежуточный главный компонент оказывает влияние на условие пластичности но слабое (максимальное расхождение между двумя условиями пластичности может достигать 15,5%).

7. Чем объясняется наличие разнообразных методов

решения задач теории пластичности?

Наличие разнообразных методов решения объясняется тем, что замкнутая система исходных уравнений не имеет общего решения, поэтому в конкретном случае приходится вводить упрощения, строить гипотезы и искать частный метод решения.

Для идеально пластичного несжимаемого материала математическая теория плоского течения, или плоского деформированного состояния развита настолько, что позволяет решить практически любую технологическую задачу по расчету напряженного и деформированного состояний с высокой точностью.

Метод решения этих задач называют методом линий скольжения или методом характеристик.

Однако, класс задач решаемых методом линий скольжения все же узкий (материал обрабатываемого тела предполагается идеально пластичным, течение плоское, медленное и изотермическое). Полностью задача разрешается (определяется напряженное и деформированное состояние) только в плоской линейной теории упругости. Температурное поле может быть найдено в неподвижной среде, находящейся в стационарном температурном состоянии. Пластическое течение определяется только для стационарного, изотермического движения с предположением, что частицы среды не испытывают вращения.

Известно, что металлы при пластической деформации упрочняются, течение, как правило, трехмерное. Поэтому методы решения задач теории пластичности в общем случае не применимы.

Решение системы дифференциальных уравнений теории пластичности представляет собой сложную математическую проблему. Пока не найдены общие приемы точного интегрирования этих уравнений. Однако приближенный метод решения задач практически любой сложности существует. Он основан на идеях вариационного исчисления и его прямых (приближенных) методах.

Общих методов решения задач теории пластичности не существует. Для решения задач существует несколько частных методов, в которых применяются определенные допущения. Различные методы расчета НДС дополняют друг друга для расчетов различных параметров.

1. Метод тонких сечений. Позволяет решить стационарные и квазистационарные задачи теории пластичности путем сведения их к двухмерным и далее к одномерным.

Рассматриваемое объемное тело делится на части, близко расположенными поверхностями так, что каждая такая часть находится в плоском напряженно-деформированном состоянии. Напряжение во всех тонких слоях считают одинаковым. Метод применим к телу, размеры которого больше двух других.

Между двумя координатными поверхностями выделяется элемент, для которого при помощи компонентов тензора напряжений записывается условие пластичности в виде уравнения Треска-Сен-Венана Уравнение равновесия и уравнение пластичности приводят к единому дифференциальному уравнению. С учетом граничных условий его интегрируют и находят один из неизвестных компонентов напряжений, а другой компонент из условия пластичности.

Под определением напряжения понимается определение функции одномерного распределения определенного компонента напряжения вдоль определенной координатной оси.

Результатом применения метода является, алгебраические уравнения скалярных полей компонента тензора напряжений.

Точность метода. Метод пренебрегает изменением напряжения по высоте рассматриваемого элемента, а также применяется упрощенное условие пластичности. Это приводит к некоторым противоречивым результатам. Однако во многих задачах теории пластичности в ОМД результаты метода тонких сечений совпадают с результатами измерений.

2. Метод линий скольжения. В методе линий скольжения заменяется интегрирование дифференциальных уравнений равновесия в частных производных интегрированием простых обычных дифференциальных уравнений.

Для несложных задач сетку линий скольжения можно построить только на основании ее свойств. Этот метод применим только для плоского напряженного состояния. Используется также для осесимметричных задач.

Предполагается, что в осесимметричной задаче сетка линий скольжения такая же, как и для соответствующей плоской задачи (волочения полосы).

Используется реологическая модель жесткопластической среды. Сопротивление металла пластической деформации усредняется по всему очагу деформации. Это усредненное значение предела текучести на сдвиг и называется постоянной пластичности.

Этот метод позволяет:

- найти границы очага пластической деформации;

- рассчитать напряженное состояние в каждой точке деформации;

- рассчитать поле скоростей перемещения.

3. Вариационные методы. Основаны на решении интегральных уравнений.

4. Метод конечных элементов.

8. Как используются экстремальные принципы механики

для решения задач теории пластичности?

В общем случае для отыскания поля напряжения, деформаций или перемещений, необходимо интегрировать дифференциальные уравнения статики и геометрические уравнения с учётом физических связей и граничных условий. Однако при этом возникают математические трудности, которые не позволяют получить приемлемое решение и значительно сужают круг решаемых задач. Данные методы называют дифференциальными. Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений может быть заменена равнозначной задачей, заключающейся в отыскании функции, которая сообщает минимум некоторому определённому интегралу (функционалу):

.

Данные методы являются интегральными, физический смысл этого интеграла в теории пластичности заключается в том, что он выражает энергию деформации, а как математический объект интеграл представляет собой функционал вариационного исчисления. Следовательно, задача отыскания функционала становится задачей вариационного исчисления.