Исследование функции одной переменной на выпуклость и вогнутость

График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале (a, b), является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала (a, b) лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале (a, b), является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала (a, b) лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теорема: Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a, b) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если f’’(x) > 0 всюду на интервале (a, b), то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f’’(x) < 0, то функция имеет выпуклость. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка M(x₁; f(x₁)), разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема: О необходимом условии существования точки перегиба

Если функция y=f(x) имеет перегиб в точке M(x₁; f(x₁)), то f’’(x₁) = 0 или не существует.

Теорема: О достаточном условии существования точки перегиба

Если: первая производная f’(x) непрерывна в окрестности точки x₁; вторая производная f’’(x) = 0 или не существует в точке x₁; f’’(x) при переходе через точку x₁ меняет свой знак, тогда в точке M(x₁; f(x₁)) функция y=f(x) имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость: 1)Найти вторую производную функции.

2)Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. 3)Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.