Уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве и на плоскости (с выводом)

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой. Cоставим уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки M₁ (x₁, y₁) и M₂ (x₂, y₂).

Каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку M₁ (x₁, y₁) и имеющую направляющий вектор

(a_x, a_{y ).} Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точки M₁ (x₁, y₁) и M₂ (x₂, y₂). Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М₁ и М₂, является вектор , он имеет координаты (x₂ –x₁, y₂ –y₁). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора и координаты лежащей на ней точки M₁ (x₁, y₁) (и M₂ (x₂, y₂)). Оно имеет вид (или ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки M₁ (x₁, y₁) и M₂ (x₂, y₂). Они имеют вид или .

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две несовпадающие точки M₁ (x₁, y₁) и M₂ (x₂, y₂), через которые проходит прямая M₁M₂. Получим уравнения этой прямой. Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространстве вида и параметрические уравнения прямой в пространстве вида задают в прямоугольной системе координат Oxyz прямую линию, которая проходит через точку с координатами (x₁, y₁, z₁) и имеет направляющий вектор (a_x, a_y, a_{z )}.

Направляющим вектором прямой M₁M₂ является вектор , и эта прямая проходит через точку M₁ (x₁, y₁) (и M₂ (x₂, y₂)), тогда канонические уравнения этой прямой имеют вид (или ), а параметрические уравнения - (или ).