Математическое обоснование принципа меркаторской проекции

Представим, что изображение Земли выполнено в виде глобуса (рис. 37), меридианы на нем сделаны из стальных упругих проволок, закрепленных у полюсов, а параллели — из растягивающегося материала, скрепленные с меридианами.

Рис. 37

Меридианы и параллели окрасим краской и освободим крепления проволочных меридианов у полюсов. Тогда меридианы выпрямятся, а параллели растянутся и на внутренней поверхности цилиндра как бы отпечатаются. Теперь разрежем цилиндр по образующей (по одному из меридианов); на нем будет нанесена прямоугольная сетка (следы параллелей и меридианов), в которой длина меридианов осталась неизменной, а каждая параллель растянулась до длины экватора. При этом параллель, близкая к экватору, растянется меньше, а с увеличением широты растяжение параллелей увеличивается все значительнее. Остров К круглой формы, который был на глобусе, на развернутой плоскости цилиндра спроектируется в виде овала. Для сохранения подобия изображения на глобусе и проекции его на плоскости необходимо соответственно вытянуть по длине и меридианы.

Для доказательства этого положения рассмотрим рис. 38, где обозначим радиус параллели пп через r, широту этой параллели cp, радиус глобуса R.

Рис. 38

Из треугольника пОе, в котором сторона Ое = r, получим r = R - cos φ, a R = r * 1/cos φ или R = r - sec φ. Умножив обе части равенства на 2я, получим 2ПR = 2Пtr*sec φ.

Следовательно, каждая параллель на карте цилиндрической проекции растягивается на величину, пропорциональную секансу своей широты. Поэтому для сохранения подобия фигур на карте фигурам на местности отрезки меридианов необходимо растянуть пропорционально sec φ, чем будет достигнута равноугольность проекции.