Понятие о предикатах

Если высказывание отражает какой-либо факт и далее оперирует с ним как с единой формулой, не разделяя его, скажем, на субъекты и объекты, то предикатная форма, напротив, отображает данный факт уже как взаимодействие, отношение или свойство некоторых сущностей. Это отношение принято выделять прописными буквами перед скобками, в которых указываются те или иные сущности, находящиеся в данном отношении.

Рассмотрим несколько предложений.

Лена и Таня сестры

грибы в лесу,

капля долбит камень,

снег белый,

мальчик послал книгу брату.

В правилах исчисления предикатов эти предложения можно записать следующим образом.

а') СЕСТРЫ (Лена, Таня),

б') В (лес, грибы),

в') ДОЛБИТЬ (капля, камень),

г') БЕЛЫЙ (снег),

д') ПОСЫЛАТЬ (мальчик, брат, книга).

В первом предложении выделено отношение родства, во втором - предлогом В - пространственные отношения. В предложении в') выделено действие между субъектом и объектом, в предложении г') - свойство (в данном случае - цвет), в предложении д') - также действие. Но рассмотрим эти примеры подробнее.

То, что стоит перед скобками и выделено прописью, называется предикатным символом (предикатной константой). То, что стоит в скобках, называетсятермами. Каждый терм занимает свое место. Предикатные символы могут быть предлогами, существительными, глаголами, прилагательными и т.п.. Терм, как правило, существительное или то, что его заменяет. Все это вместе образует предикатную формулу (или короче - предикат).

Термов может быть несколько. По их количеству предикаты разделяются на одноместные (г'), двуместные (а', б', в'), трехместные (д') и т.д. Предикатная формула еще называется атомом. Но и термы бывают разными. В примере а') оба терма обозначены вполне конкретно - Лена, Таня. В этом случае они называются индивидные константы. Во втором предикате оба терма заданы в самом общем виде: какие-то грибы в каком-то лесу. Их можно просто обозначить через буквы x и y - они так и называются - индивидные (предметные) переменные. Сами же предикатные символы, которые, как мы видели, много чего отображают, также обозначаются буквами - прописными, латинского алфавита: P, R, M... Иногда к ним добавляются индексы: P₁, P₂,... Pn,иногда указывают число мест: P_к¹, P_к².... Говоря о терме, мы не упомянули еще один его вид: терм может быть выражен через функцию.

Разберем все сказанное на примерах.

1) ПИСАТЬ (Лермонтов, "Демон"). "Лермонтов написал "Демона"" - все ясно: ПИСАТЬ - предикатная константа, двуместный предикат, оба терма - индивидные константы. Обозначим через X множество стихотворений Лермонтова. Тогда предикат вида: ПИСАТЬ (Лермонтов, x) означает: "Лермонтов написал какое-то стихотворение". А вот предикат: ПИСАТЬ (y, x), где под y понимается какой-то человек, означает: "кто-то написал что-то", x и y здесь - индивидные переменные.

2) Обозначим через g некоторую функциональную константу, например, "быть варёным". Если картофель обозначить через s, то предикат НА (стол, g(s)) теперь истолкуется как "на столе варёная картошка". Пусть f - функциональная константа "быть отцом", а m - функциональная константа "быть матерью". В этом случае предикат P (f(Лена), m(Лена)) следует истолковать просто как РОДИТЕЛИ. (Тот же результат, впрочем, даст и более общая формула: P(f(x), m(x)), где x - один и тот же ребенок).

Из рассмотренного можно сделать некоторые выводы. Во-первых, термы нельзя менять местами. Иначе получится, что на картошке стоит вареный стол, а Демон написал "Лермонтова". И во-вторых: не следует путать предикатный и функциональный символы. Предикат МАТЬ (х,y) означает: y есть мать х. Либо это правда, либо это неправда, поэтому область значений предиката [1,0] или [И,Л]. Функция м(x) означает "быть матерью", равенство м(x) = y - "матерью х является y". Область определения х - вообще говоря, все человечество, область значений y - все женщины определенного возраста.