КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Регрессионными называются такие связи, когда при одном и том же значении признака Х встречаются разные значения признака У, при этом между ними имеется такое соотношение, что определенному изменению признака Х соответствуют средние изменения признака У. Следовательно, это связь, проявляющаяся в общем, в среднем, во всей совокупности явлений в целом. Такого рода связи характеризуются нежесткими соотношениями между переменными, их множественностью.

Корреляционные связи бывают прямолинейные и нелинейные. Для выражения связи между двумя признаками подбирают наиболее подходящие из известных

математических уравнений, функций (прямую, параболу, гиперболу и т.д.). Уравнение прямой имеет следующий вид:

.

Применительно к измерению связей здесь У представляет собой результативный признак, Х – факторный признак, а₀ и а₁ – параметры прямой, а само уравнение называется уравнением регрессии.

Нахождение этих параметров производится на основе выравнивания по способу наименьших квадратов, которые приводят к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Решая это уравнение способом определителей, находим:

;

или разделив первое уравнение на n, получим: , откуда .

Найдем параметры а₀ и а₁ и запишем уравнение связи между балансовой прибылью (БП) и капиталом (К) десяти коммерческих банков.

Таблица 4

Банк	БП (yi)	К (хi)	xiyi					Ранги	d2=(Ry-Rx)2
№ п/п	млрд. руб.	млрд. руб.						RY	RX
А
1.	19,2	129,5	2486,4	16770,25	53,7	2,53	1186,80
2.	46,0	46,3	2129,8	2143,69	19,9	635,54	681,21
3.	93,8	152,6	14313,88	23286,76	63,0	5330,46	946,79
4.	12,6	18,4	231,84	338,56	8,6	67,08	16,16
5.	16,3	12,8	208,64	163,84	6,3	20,16	99,80
6.	6,1	56,7	345,87	3214,89	24,1	215,8	324,72
7.	5,4	13,8	74,52	190,44	6,7	236,85	1,72
8.	3,4	4,5	15,3	20,25	2,9	302,41	0,21
9.	3,0	11,5	34,5	132,25	5,8	316,48	7,73
10.	2,1	38,9	81,69	1513,21	16,9	349,32	219,04
Итого	207,9		19922,44	47774,14	207,9	7476,626	3484,18

Продолжение таблицы 4

Знаки отклонений
		+	–	+	–	–	+	–	–	–	–
		–	+	+	–	–	–	–	–	–	–
C или Н		Н	Н	С	С	С	Н	С	С	С	С

Отсюда,

Следовательно, уравнение связи между капиталом и балансовой прибылью 10 банков будет: . Оно означает, что с увеличением капитала на 1 рубль балансовая прибыль в среднем вырастет на 40,6 копеек. Подставив в это уравнение конкретные значения х, находим для всех 10 банков , т.е. теоретическое значение прибыли. Для расчета корреляционного отношения рассчитываем общую дисперсию У и остаточную дисперсию:

.

Корреляционное отношение:

,

что свидетельствует о наличии связи между признаками.

Подставив в формулу корреляционного отношения: , где

вместо получим:

,

т.е. для линейной зависимости

Если в формуле для линейной зависимости подставить значение а₁, выраженное из системы уравнений, получим линейный коэффициент корреляции Пирсона:

,

где ,

;

, следовательно Но: .

Ранговые показатели тесноты связи: p Спирмэна, Кэндэла.

,

Прежде чем найти Р и Q, следует упорядочить ранги по одному из признаков, например, у. Тогда ряд рангов будет иметь вид:

Р – количество наблюдений, ранг которых больше данного;

Q – количество наблюдений, ранг которых меньше данного. Данное значение отражает число нарушений последовательности рангов, поэтому Q записывается со знаком “–”;

n – число наблюдений;

1/2´n(n–1) – общее число сравнений, т.е. максимальная величина (P+Q).

Коэффициенты р и подтверждают наличие умеренной связи между величиной капитала и балансовой прибылью банков.

Коэффициент Фехнера (1887 г.):

где С и H – соответственно число пар совпадающих и несовпадающих знаков отклонений значений признаков х и у от своего среднего значения и (cм. гр.11–13).

Проверка статистической значимости коэффициента корреляции (r).

1. Рассчитывается величина t (как отношение r к его ошибке)

,

где n – число наблюдений; (n –2) – число степеней свободы.

2. По таблице распределения Стьюдента (n 30) находится пороговое значение t_табл., соответствующее заданному уровню значимости ( =0,05 или =0,02) и числу степеней свободы.

3. Если t_ф.>t_т, коэффициент корреляции признается статистически значимым при уровне значимости .

v	Вероятность =St(t)=P(|T|)>tтабл.
	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
	0,158	0,325	0,51	0,727		1,376	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,656	636,61
	0,142	0,289	0,445	0,617	0,816	1,061	1,386	1,886	2,92	4,303	6,965	9,925	31,598
	0,137	0,277	0,424	0,584	0,765	0,978	1,25	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,941
	0,134	0,271	0,414	0,569	0,741	0,941	1,19	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,61
	0,132	0,267	0,408	0,559	0,727	0,92	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,043	6,859
	0,131	0,265	0,404	0,553	0,718	0,906	1,134	1,44	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
	0,13	0,263	0,402	0,549	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
	0,13	0,262	0,399	0,546	0,706	0,889	1,18	1,397	1,89	2,306	2,896	3,355	5,041
	0,129	0,261	0,398	0,543	0,703	0,883	1,1	1,383	1,883	2,262	2,821	3,25	4,781
	0,129	0,26	0,327	0,452	0,7	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,583
	0,129	0,26	0,396	0,54	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,437
	0,128	0,259	0,395	0,539	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
	0,128	0,259	0,394	0,538	0,694	0,87	1,079	1,35	1,771	2,16	2,65	3,012	4,221
	0,128	0,258	0,393	0,537	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	4,14
	0,128	0,258	0,393	0,536	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
	0,128	0,258	0,392	0,535	0,69	0,865	1,071	1,337	1,746	2,12	2,583	2,921	4,015
	0,128	0,257	0,392	0,534	0,689	0,863	1,069	1,333	1,74	2,11	2,567	2,898	3,965
	0,127	0,257	0,392	0,534	0,688	0,862	1,067	1,33	1,734	2,101	2,552	2,876	3,922
	0,127	0,257	0,391	0,533	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,833
	0,127	0,257	0,391	0,533	0,687	0,86	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,85

Практические задания