Способ вспомогательных касательных поверхностей

Способ вспомогательных касательных (описанных или вписанных) поверхностей конусов или цилиндров применяется при построении на фасаде контуров собственных теней поверхностей вращения без второй проекции.

Сущность (рис. 201). Для построения точек, принадлежащих контуру собственной тени, используются вспомогательные цилиндрические или конические поверхности, тени которых определяются просто. Эти поверхности касаются заданной поверхности вращения по окружностям – параллелям.

Сначала применяют вспомогательные цилиндрические поверхности, которые касаются заданной поверхности по экватору или горловине. Затем применяют касательные конусы, соосные с данной поверхностью. После этого определяют теневые образующие вспомогательных поверхностей и отмечают точки их соприкосновения с соответствующими параллелями данной поверхности. Эти точки принадлежат контуру собственной тени поверхности вращения. Их соединяют плавной кривой.

При построении контура собственной тени прежде всего необходимо построить характерные точки контура – точки, лежащие на фронтальном и профильном очерках поверхности (точки видимости), а также высшую и низшую точки контура тени. Первые две точки определяют с помощью касательных конусов с углом наклона образующей в 45°, а вторые две точки – с помощью конусов с углом наклона 35°.

Собственные тени вспомогательных конусов частного вида (рис. 202).

У конуса с наклоном образующей 45° фронтальная проекция луча совпадает с очерковой образующей. Собственная тень занимает одну четверть поверхности нижней полы конуса и три четверти верхней полы. Теневыми образующими являются очерковая фронтальная и профильная. У конуса с наклоном образующей 35° контуром тени может служить единственная образующая, которая на фасаде имеет наклон 45°. Поверхность нижней полы конуса будет вся освещена, а поверхность верхней полы конуса – вся в тени.

Два вида касательных конусов и касательный цилиндр позволяют определить восемь точек контура собственной тени, включая невидимые. Если необходимо построить дополнительные точки тени, применяют касательные конусы с произвольным наклоном образующих.

Собственные тени вспомогательных конусов общего вида (рис. 203).

Первый способ (рис. 203 а). На проекции основания конуса строят совмещенную окружность основания, а на высоте конуса – равнобедренный прямоугольный треугольник: у конуса, обращенного вершиной вверх, – справа, а у конуса, обращенного вершиной вниз, – слева. Радиусом, равным его катету, делают засечки на окружности основания конуса. Полученные точки переносят вертикальными линиями связи на проекцию основания конуса (точки 1' и 2' теневых образующих).

Второй способ (рис. 203 б) применяется, когда вершина конуса недоступна (усеченный конус). Аналогичным образом, построив совмещенное основание конуса, проводят горизонтальную касательную к окружности основания до пересечения с продолжением очерковой образующей: у конуса, обращенного вершиной вверх – справа, у конуса, обращенного вершиной вниз, – слева. Из полученной точки проводят прямую под углом 45° до пересечения с окружностью основания конуса. Полученные точки переносят на проекцию основания конуса и определяют искомые точки 1' и 2' теневых образующих.

Пример 1. Построить контур собственной тени выпуклой поверхности вращения – овоида (рис. 204). Для построения точек тени на экваторе поверхности опишем вокруг поверхности соосный цилиндр и на окружности касания определим общие точки тени 1' и 2'. Затем построим фронтальные проекции вспомогательных касательных конусов с углом наклона образующей 35°, проведя касательные к очерку овоида до пересечения с осью, а из этой точки – прямую под углом 45° к линии касания, получим высшую точку 3' (невидимую) и низшую точку 4'. Конусы с углом наклона образующей 45° дадут на очерке поверхности точки 5' и 7' и точки, совпадающие с проекцией оси, 6' (невидимая) и 8'. Если восьми точек окажется недостаточно, проводят дополнительную параллель поверхности и строят касательный конус произвольного вида (точки 9' и 10'). Через полученные точки проводят плавную кривую, в точках 5' и 7' она должна коснуться очерка овоида.

Пример 2. Построить контур собственной тени вогнутой поверхности вращения тороида (скоции). На рис. 205 форма поверхности вращения – “предельной скоции” такова, что падающей тени от верхней кромки не будет, так как кривая очерка в верхней точке касательная к прямой под углом 35°. Точки 1' и 2' построены с помощью вписанного цилиндра. Точки 5' и 6', а также точки 7' и 8' построены с помощью касательных конусов с наклоном образующей 45°. Точки 3' (высшая) и 4' (низшая) – с помощью вписанных конусов с наклоном образующей 35°. Для более точного построения точек касания образующих вспомогательных конусов к очерку поверхности можно воспользоваться прямыми, проведенными под углами, равными дополнительным углам (55 и 45°), из центров дуг очерка поверхности.