Замена переменных в полярной системе координат

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что

.

Здесь является элементом площади в полярных координатах.

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Общее правило замены переменной интегрирования (метода подстановки)

Чтобы вычислить неопределённый интеграл по переменной х, можно сделать замену х на новую переменную t, связанную с х дифференцируемой функцией, имеющей обратную дифференцируемую функцию. Для этого нужно выразить через t всё подынтегральное выражение (включая dx). После вычисления интеграла по t нужно сделать обратную замену к переменной х.