Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция f (x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D ₁ и D ₂, то функция f (x, y) интегрируема в каждой из областей D ₁ и D ₂, причем

2°. Линейное свойство. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [ α · f (x, y) + β · g (x, y)] также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f (x, y) и g (x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f (x, y) ≤ g (x, y), то

5°. Если функция f (x, y) интегрируема в области D, то и функция | f (x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости | f (x, y)| в D не вытекает интегрируемость f (x, y) в D.)

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, функция g (x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f (x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

(11)

В частности, если функция f (x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f (ξ, η), и формула (11) принимает вид