Площадь надграфика (криволинейная трапеция ограничена отрицательной функцией и осью абсцисс)

Третий очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x) взять функцию –f(x), то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс.

Пример 4:

Вычислить площадь надграфика функции , на отрезке [0,2].

Чертим график, убеждаемся что он в нижней полуплоскости на данном промежутке, далее вычисляем интеграл:

4) Площадь фигуры ограниченной линиями.

Теперь рассмотрим более сложную конструкцию. На рисунке ниже мы видим четыре разных функции и плоскость, которую они образуют. Что бы найти её площадь нам надо рассмотреть каждую её часть, которая соответствует одной функции.

• Начнём с функции f(x) здесь нам надо искать интеграл от a до b, но при этом остаются небольшие уголки, площадь которых надо вычесть, что бы осталась только искомая площадь.
• Если взять функцию g(x), то видим, что она нам поможет найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс, не забываем про знак минус для этой части интеграла. Также помним, что мы должны были вычесть один из уголков, который расположен под графиком этой функции. Поэтому у нас выходит интеграл со знаком минус от функции g(x) с границами от a до d.
• Следующей возьмём функцию v(x), видим, что здесь надо брать интеграл от b до c. Но видим, что наша фигура ограничивается не осью OX, а функцией u(x) поэтому надо ещё вычесть ту часть плоскости, которая попадает в этот интервал [b; c] и расположена между осью OX и графиком функции u(x).
• И последней рассмотрим функцию u(x), видим, что она нам поможет найти вторую часть фигуры, что расположена ниже оси абсцисс, а также помним, что мы должны вычесть ту часть площади, которая находится между осью OX и графиком функции u(x) до с. Поэтому, как и со второй функцией будем иметь интеграл со знаком минус, но теперь от функции u(x) и с границами от d до c.

Пример 5: Пусть имеем две функции:

И нам надо найти площадь фигуры ограниченной этими двумя функциями.

Преобразуем эти функции к следующему виду.

Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:

Находим самый правый и самый левый конец фигуры, это пересечения функций: точки 0 и 3. Значит это и будут пределы интегрирования. (Разбивать фигуру на части нет необходимости, т.к. нет больше пересечений и других крайних точек.)

Верхняя функция парабола, нижняя прямая. Пользуемся формулой из пункта 3)

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.