В этом случае спектр сложного сигнала как до, так и после модуляции намного превышает спектр первичного сигнала, поэтому его принято называть широкополосным

Для начала вспомним понятие полной фазы радиосигнала

(2)

а также понятие мгновенной частоты радиосигнала, как производной от полной фазы:

(3)

Сигналы, у которых изменяется полная фаза в соответствии с модулирующим сигналом называются сигналами с угловой модуляцией.

Для начала рассмотрим сигналы с фазовой модуляцией (phase modulation PM). У сигналов с PM полная фаза изменяется в соответствии с модулирующим сигналом:

(4)

где называется индексом фазовой модуляции или девиацией фазы, а модулирующий сигнал по модулю не превосходит единицы

Тогда комплексная огибающая PM сигнала имеет вид:

(5)

а сам радиосигнал может быть представлен следующим образом:

(6)

Теперь рассмотрим сигнал с частотной модуляцией (frequency modulation FM). В отличии от PM при частотной модуляции происходит изменение мгновенной частоты радиосигнала:

(7)

где называется индексом частотной модуляции или девиацией частоты, а модулирующий сигнал по модулю не превосходит единицы Тогда полную фазу радиосигнала можно рассчитать как интеграл от мгновенной частоты:

(8)

Сигнал с FM имеет вид:

(9)

где - произвольная постоянная интегрирования полной фазы (8). Обратите внимание, что абсолютно не верно подставлять выражение для мгновенной частоты вместо несущей частоты в выражение для полосового сигнала:

(10)

так как Правильным является выражение (9)!

16. Сигналы с внутриимпульсной модуляцией. Сигналы с линейной частотной модуляцией. Фазо-кодо-манипулированные сигналы. Математические модели, спектральные характеристики, особенности применения.

Фазо-кодо-манипулированные импульсы (ФКМ)

ФКМ радиоимпульсы характеризуются скачкообразным изменением фазы внутри импульса по определенному закону, например (рис. 1.66):

код трехэлементного сигнала

закон изменения фазы

трехэлементный сигнал

Рис. 1.66

или семиэлементный сигнал (рис. 1.67)

Таким образом, можно сделать выводы:

· АЧС сигналов с ЛЧМ является сплошным.

· Огибающая АЧС определяется формой огибающей сигнала.

· Максимальное значение АЧС определяется энергией сигнала, которая в свою очередь, прямопропорциональна амплитуде и длительности сигнала.

· Ширина спектра равна где девиация частоты и не зависит от длительности сигнала.

· База сигнала (коэффициент широкополостности) может быть n >>1.Поэтому ЛЧМ сигналы называют широкополосными.

Рис. 1.67

ФКМ радиоимпульсы длительностью представляют собой совокупность следующих друг за другом без интервалов элементарных радиоимпульсов,длительность каждого из них одинакова и равна .Амплитуды и частоты элементарных импульсов одинаковы, а начальные фазы могут отличаться на (или какое-либо другое значение). Закон (код) чередования начальных фаз определяется назначением сигнала. Для ФКМ радиоимпульсов, используемых в радиолокации разработаны соответствующие коды, например:

+1, +1, -1 - трехэлементные коды

-два варианта четырехэлементного кода

+1 +1 +1, -1, -1, +1, -2 - семиэлементный код

Спектральную плотность кодированных импульсов определяют,используя свойство аддитивности преобразований Фурье, в виде суммы спектральных плотностей элементарных радиоимпульсов.

Графики АЧС для трехэлементного и семиэлементного импульсов приведены на рисунке 1.68

Рис. 1.68

Как видно из приведенных рисунков, ширина спектра ФКМ радиосигналов определяется длительностью элементарного радиоимпульса

или .

Коэффициент широкополостности

,где N -количество элементарных радиоимпульсов.

ФКМ сигналы применяются в широкополосных системах связи, радиолокации, в устройствах идентификации обьектов.

6. Понятие нормированной функции. Понятие ортонормированной системы функций.

Нормирование метрических параметров. Норма функций в пространстве L²[a, b] определяется выражением:

||s(t)|| = .

Нетрудно заключить, что чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при прочих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов (как аналоговых, так и многомерных дискретных) такое понятие не всегда удобно, и вместо него очень часто используют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала[a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак Ñ:

||s(t)||Ñ = , ||s_n||Ñ = .

Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:

dÑ (s(t), v(t)) = , dÑ (s_n, v_n) =

Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигналов или среднеквадратической погрешности выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоретически ожидаемым или априорно известным.

Нормированное скалярное произведение сигналов:

б s(t), v(t)ñ Ñ = s(t)v(t) dt = ||s(t)||Ñ ||v(t)||Ñ cos j.

б s_n, v_{nñ Ñ} =(1/N) s_n v_n = ||s_n||Ñ ||s_n||Ñ cos j.

Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами – функциями не изменяет своих значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скалярного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения (2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.

Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются на длину главного периода Т.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение:

б u(t), v(t)ñ = u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен j = 90^о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos j = 0), и имеют нулевую энергию взаимодействия (E_uv = 0).

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, энергии взаимодействия.

Ортонормированный базис пространства. Множество сигналов – векторов {v_k, k = 1, 2, …, N} в N-мерном декартовом пространстве при единичной норме и выполнении условий взаимной ортогональности:

б v_m, v_nñ = (2.3.1)

могут быть приняты в качестве ортонормированного базиса данного пространства. Выражение (2.3.1) обычно записывается в следующей форме:

б v_m, v_nñ = d_mn, (2.3.1')

где d_mn – импульс Кронекера, равный правой части выражения (2.3.1).

С использованием ортонормированного базиса любой произвольный сигнал можно представить в виде линейной комбинации взвешенных базисных векторов:

s = c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_Nv_N,

где весовое значение с_k определяется проекцией вектора s на соответствующее координатное направление:

c_k = á s, v_kñ.

При распространении данных положений на функциональное пространство L²[a, b] в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций {u₀(t), u₁(t), u₂(t), …}, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {u_k(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

б u_m(t), u_n(t)ñ = u_m(t) u_n(t) dt = 0, m = 1, 2,...; n = 1, 2,...; m ¹ n.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при m=n имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

б u_m(t), u_m(t)ñ = ||u_m(t)||² = (u_m(t))² dt = 1, ||u_m(t)|| = 1, m = 1, 2,....

Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

u_m(t)·u_n^*(t) dt = d_m,n.

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.