Энергетические характеристики сигналов

Основными энергетическими характеристиками сигнала s (t) являются его мощность и энергия.

Мгновенная мощность p (t) для вещественного сигнала определяется как

а для комплексного как

где знак " * " означает комплексно сопряженную функцию.

Если s (t) - напряжение или ток, то p (t) есть мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении 1 Ом.

Энергия сигнала на интервале (t ₂ , t ₁ ) определяется как интеграл от мгновенной мощности

Отношение

имеет смысл средней на интервале (t ₂ , t ₁ ) мощности.

Для неограниченных по времени периодических сигналов определяют среднюю за период мощность

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение:

áu(t), v(t)ñ = u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен j = 90^о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos j = 0), и имеют нулевую энергию взаимодействия (E_uv = 0).

Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, нулевую энергию взаимодействия.

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| - норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы:

||s(t)|| = . (2.1.2)

Для дискретных сигналов:

||s(n)|| = . (2.1.2')

Для комплексных сигналов:

||s(t)|| = , (2.1.2'')

где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие аксиомы:

1. Норма неотрицательна (||s(t)|| ≥ 0) и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = Æ, при s(t) = Æ).

2. Для любого числа b должно быть справедливо равенство: ||bs(t)|| = |b| × ||s(t)||.

3. Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника: ||v(t)+u(t)|| £ ||v(t)|| + ||u(t)||.

Пример норм для двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 2.1.2.