Массового обслуживания

(замкнутая система массового обслуживания)

Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:

Р_k = × a^k × Р₀, (12)

где k– число требований (0 £ k £ n);

n – число обслуживающих аппаратов;

m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.

Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:

Р_k = ×a^k × Р₀, (13)

где (n £ k £ m).

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

Р₀ = ( ×a^k + × a^k)^-1. (14)

Введем обозначения для краткой записи () и (), тогда

Р₀ = + . (15)

Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди

М₁ = × Р_k. (16)

Коэффициент простоя обслуживаемого требования в ожидании обслуживания

К₁ = . (17)

Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании

М₂ = × Р_k. (18)

Коэффициент простоя обслуживаемого требования в обслуживающей системе

К₂ = . (19)

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов

М₃ = × Р_k. (20)

Коэффициент простоя обслуживающего аппарата

К₃ = . (21)

Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.

Решение. n = 2, m = 9, l = 1, = 6 мин = 0,1 ч., n = = 10,

a = = 0,1.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 – все станки работают, очереди нет;

k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

………………………..………………………..………………………………

k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р₀, Р₁, Р₂, Р₃, …, Р₉.

Определим значения для случая, когда очереди нет (0 £ k £ 2):

b₀ = × 0,1° = 1; b₁ = × 0,1¹ = 0,9; b₂ = × 0,1² = 0,36.

Определим значения для случая, когда очередь есть (3 £ k £ 9):

b₃ = × 0,1³ = 0,126; … b₉ = × 0,1⁹ = 0,0000014175.

Результаты расчетов представлены в таблице:

Число требований, k	Число требований, ожидающих обслуживания, k - n	Число свободных рабочих, n - k	и	Рk=bk×Р0	(k-n) Рk	k×Рk	(n-k) Рk
	-			0,4106	-	-	0,8212
	-		0,9	0,3695	-	0,3695	0,3695
	-	-	0,36	0,1478	-	0,2956	-
		-	0,126	0,0517	0,0517	0,1551	-
		-	0,0378	0,0155	0,031	0,062	-
		-	0,00945	0,00388	0,01164	0,0194	-
		-	0,00189	0,000776	0,003104	0,004656	-
		-	0,0002835	0,0001164	0,000582	0,0008148	-
		-	0,0002835	0,0000116	0,0000696	0,0000928	-
		-	0,0000014175	0,0000005	0,0000035	0,0000045	-
S	-	-	2,43545	-	0,098	0,949	1,1862

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Р₀ = (2,43545)^-1 = 0,4106.

Среднее число станков, стоящих в очереди:

М₁ = × Р_k = 0,098.

Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди

К₁ = = 0,11.

Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)

М₂ = × Р_k = 0,949.

Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания

К₂ = = 0,105.

Это означает, что 10,5 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)

М₃ = × Р_k = 1,1862.

Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.

Коэффициент простоя рабочего

К₃ = = 0,59.

Это означает, что в среднем каждый рабочий 59 % рабочего времени простаивает без работы.

Тема 3. Модель межотраслевого баланса

Важнейшим условием нормального развития национального хозяйства является сбалансированность общественного производства на всех уровнях. Эффективным аппаратом для определения сбалансированных пропорций развития являются балансовые модели производства и распределения продукции. Использование балансовых моделей помогает органам государственного управления экономикой способствовать предупреждению возникновения диспропорций в развитии отраслей национальной экономики.

Балансовые модели составляются для экономических систем разных уровней. Например, на уровне национального хозяйства используется модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции, а на уровне предприятия – модель межпродуктового баланса.

Суть балансовой модели состоит в том, что затраты должны компенсироваться доходами. Данный метод позволяет для каждой отрасли определить количество продукции, которое она должна выпустить, чтобы удовлетворить потребность всех других отраслей, включая непроизводственную сферу и потребности внешней торговли. Рассмотрим балансовую модель в стоимостном выражении.