Модель описания. Модель решения. Алгоритмическая модель. Программная модель

Эти модели представляют собой различные способы описания одних и тех же свойств объекта на разных фазах процесса моделирования от постановки задачи (словесного описания) до получения итоговых результатов.

Словесное описание объекта не является моделью, а является исходными данными (или представлением объекта) к рассмотрению.

Постановка задачи (словесное описание свойств объекта).

Схема взаимодействия

Модель описания – это предположение на математическом языке словесного описания (или описание в виде математических символов свойств объекта, изложенных в словесном описании).

Например

Маша собрала 2 кг грибов, Саша на 1 кг больше. Сколько они собрали вместе?

X = 2 - это аналитическое описание

Y = x + 1

Модель решения – это набор зависимостей и правил в виде математических выражений, указывающих способ получения решения задачи.

· Аналитическая модель решения – представление искомой величины в виде явной зависимости через исходные данные.

Например

(Для рассмотренной выше задачи). Аналитическая модель решения будет иметь вид

<=>

Решение системы линейных уравнений определяют по методу определителей (или его еще называют метод Крамера): , y = ,

где – определитель системы линейных уравнений;

- вектор свободных членов.

Тогда

Решением является x=2, y=3

Численная модель решения – это набор выражений позволяющих получить решение в виде совокупности чисел. Решение в этом случае получаем приближенное. Данная модель применяется, если аналитическая модель очень сложна или ее просто не существует. (В качестве примера использование метода Ньютона для решений уравнения вида f(x)=0)

пусть f(x)=x²+x-s=0, выбор точки нач. приближения x₀=0,5; затем вычисление более точного решения по рекуррентной формуле.

Имитационная модель решения – предположение на язык ПК формальных правил, по которым функционирует объект моделирования согласно словесному описанию или аналитической модели описания. Эти правила позволяют при заданных входах определить выходные параметры. Данная модель используется для решения очень сложных задач, для которых как правило не важно составить алгоритмическую модель описания, а существует лишь словесное описание.

Алгоритмическая модель – запись модели решения в виде алгоритма (блок-схемы).

Теоретическая модель получено как логическое следствие некоторых фундаментальных законов природы или из некоторых других результатов исследования, возведенных в ранг истории.

Экспериментальная модель получена с помощью математической обработки результатов.

Пример. Получим уравнение (модель) равноускоренного движения двумя способами

· Теоретический способ. В качестве отправной точки (исходных данных) возьмем два закона (два определения)

1) Определение ускорения - ускорение это вторая производная координата по времени (ФОРМУЛА)

2) Движение называют равноускоренным, если его ускорение равно (ФОРМУЛА

· Эмпирический способ. Предположим, провели ряд экспериментов, пуская тяжелые шары по наклонным желобам. Меняем угол наклона желоба, что бы уменьшилось ускорение а. Меняем длину желоба, что бы изменялся путь х. Фиксируем время t в каждом эксперименте. Получим таблицу значений:

Отметим отличия теоретической и экспериментальной моделей

Замечание 1. При синтезе теоретической модели часто прибегают к упрощающим допущениям: некоторым предложением о свойствах объекта, при выполнении которых модель существенно упрощается.

Например, при равноускоренном движении мы пренебрегаем силой трения.

Наиболее типичные следующие упрощения:

1) полагаем какой - либо параметр = 0

2) полагаем какой - либо параметр =

3) полагаем, что два параметра линейно зависят друг от друга

Замечание 2. При теоретическом моделировании так же применяются эксперименты. Однако их роль существенно уже, чем в эмпирических моделях. Главным образом их используют для определения значений каких - либо параметров модели.

Например, при теоретическом выводе модель свободного падения имеет вид ФОРМУЛА

Критерии качества математической модели

Любому объекту можно построить множество моделей. Выбрать нужно ту, которая отвечает следующим критериям:

1) Универсальность – полнота описания свойств объекта

Пример. Имеем 10 моделей, каждая из которых описывает концентрацию парового вещества в жидкой фазе при различных движениях (ФОРМУЛА)

2) Точность – соответствие выходных параметров объекта, вычисленных по модели, их истинному (например, полученных из экспериментов). Точность бывает абсолютная и относительная. Чем меньше погрешность, тем больше точность.

3) Адекватность – способность модели правильно отображать свойства объекта. Это качественный показатель.

4) Экономичность – показатель суммарных затрат на получение и использование модели (затраты на оплату специалистов, затраты машинного времени и т.д.)