Ударное сжатие

Рис. 31. Схема движения волны сжатия: 1 – исходное положение поршня; 2 – положение поршня в момент времени τ; 3 – положение фронта ударной волны в момент времени τ.

Схема движения волны сжатия и газа показана на рис. 31. Обозначим через v = 1/ρ удельный объем, ρ – плотность газа. За время τ поршень, а с ним и газ переместится на расстояние wτ, волна сжатия – на расстояние Dτ по отношению к исходному положению поршня и на расстояние (D- w)τ – к конечному; (D - w)τ – высота столба сжатого газа. Расстояние, пройденное волной, определяет объем сжатого вещества в его исходном состоянии; здесь и в дальнейшем расчет ведется на единицу поверхности поршня.

Закон сохранения массы

(8.1)

Изменение количества движения

(8.2)

(8.3)

(8.1а)

При ударном сжатии к заметному изменению плотности приводит только такое движение газа, скорость которого соизмерима со скоростью ударной волны.

(8.4)

(8.5)

Из уравнений (8.3), (8.1а) и (8.5) следует:

(8.6)

Адиабата Гюгонио.

Адиабата Пуассона:

. (8.7)

Рис. 32. Адиабаты Гюгонио и Пуассона: 1 - адиабата Пуассона; 2 – адиабата Гюгонио.

(8.8)

В предположении Е = c_vT, и учитывая, что c_p/c_v = g, с_р – c_v = R/M (M – молекулярная масса), а RT = РvM, найдем

(8.9)

Выражая аналогично величину Е_о и используя уравнения (8.6), запишем уравнение адиабаты Гюгонио в наиболее удобной форме:

(8.10)

В координатах Р – v адиабата Гюгонио изображается более крутой кри-вой, чем адиабата Пуассона (см. рис. 33). Умножая обе части уравнения (8.10) на отношение v/v_о, можно вычислить степень нагревания в ударной волне, учитывая, что Т/Т_о = Рv/Р_ov_o:

(8.11)

Сильные и слабые ударные волны. Существенная особенность ударного сжатия заключается в том, что, как бы ни было высоко давление в ударной волне, степень сжатия = v_o/v не может превысить некоторого конечного значения. При Р>>Р_о, v → v_∞

(8.12)

При изоэнтропическом сжатии объем неограниченно уменьшается с ростом конечного давления (см. рис. 32). Если в каждой из п последовательных ударных волн Р >> Р_о, то

(8.13)

Из уравнений (8.4) и (8.5) вытекают и другие особенности сжатия в сильной ударной волне. Полагая Р >> Р_о и подставляя в эти уравнения значение ε_∞, находим

(8.14)

(8.15)

Таким образом, при сильном сжатии рост давления в ударной волне пропорционален квадрату скорости сжимающего тела (поршня).

Не только очень сильные, но и очень слабые ударные волны отличаются рядом особенностей. Ударное сжатие очень малой амплитуды эквивалентно сжатию в звуковой волне. В этом случае D = с_о, где с_о – скорость звука в веществе, находящемся в исходном состоянии. В этом случае разности Р–Р_о=ΔР и v_о–v=Δv можно заменить дифференциалами, аналогичные суммы – величинами 2Р и 2v либо 2Р_о и 2v₀ соответственно. Уравнение (8.4) принимает вид:

(8.16)

Скорость движения газа в слабой ударной волне, как это следует из уравнений (8.4) и (8.5), мала по сравнению со скоростью волны. Для слабого сжатия адиабаты Гюгонио и Пуассона совпадают.

Для звуковой волны, как следует из уравнения (8.6),

dE = -Рdv (8.17)

В предельном случае сильного сжатия по уравнению (8.12) рост температуры, как это следует из уравнения (8.11), равен

(8.18)

т.е. Т ~ Р, тогда как при изотермическом сжатии (уравнение 7.9) показатель степени при Р, равный (g — 1)/g, не превосходит 0,4. Так, при Р/Р_о = 100 для двухатомного газа (Т/Т₀)_∞ = 16,6, аналогичная величина для изоэнтропического сжатия имеет значение (T/T₀)i = 3,72.

Поскольку сжатие в звуковой волне изоэнтропично, очевидно, что для идеального газа (т.е. для условия Р = const Р^g)

(8.19)

(8.20)

Скорость звука возрастает с повышением температуры газа ~ , поэтому для газа, сжатого ударной волной, с > с₀. Подставляя в уравнение (8.19) значение плотности при сильном сжатии, найдем скорость звука для этого режима:

(8.21)

Сопоставление уравнений (8.14), (8.15) и (8.22) показывает, что при сжатии в сильной волне текущее значение скорости звука составляет 41-56% скорости ударной волны, а скорость газа, стремящаяся к нулю для слабых волн, достигает 75-86% скорости ударной волны. Скорость сильной ударной волны значительно больше скорости звука в несжатом газе:

(8.22)

Так, при Р/Р_о = 100 для одноатомного газа D = 8с_о.

Структура ударной волны. Установленные закономерности позволяют объяснить важную особенность сжатия в ударной волне – резкое изменение свойств сжимаемого вещества. Рассмотрим сжатие газа в описанном в начале главы опыте с вдвижением поршня в трубу при условии его ускорения, причем скорость поршня возрастает последовательными небольшими скачками.

После первого увеличения скорости поршня от нуля до определенного малого значения w₁ возникает слабая ударная волна, движущаяся по сжимаемому газу со скоростью D₁. При увеличении скорости поршня до w₂>w₁ возникает новая ударная волна, распространяющаяся по уже сжатому газу со скоростью D₂. Легко показать что D₂>D₁. С одной стороны, скорость слабой ударной волны, близкая к скорости звука, возрастает с повышением температуры и потому будет больше в газе, уже нагретом первой волной. С другой стороны, сам сжатый газ движется в направлении распространения волны сжатия.

Поскольку скорость второй ударной волны больше первой, через определенное время вторая волна догонит первую. Обе волны сольются, их амплитуды сложатся, две волны заменятся одной новой, более мощной. Аналогичным образом происходит наложение всех последующих волн, а также бесконечно малых волн, возникающих при плавном ускорении поршня, с образованием все более сильной волны. Наложение последовательно распространяющихся ударных волн является причиной резкого изменения свойств сжимаемого ими газа, ударная волна имеет характер разрыва, скачка.

Ширина фронта очень слабых волн может быть довольно значительна. Для сильной ударной волны, т.е. при Р >> Р_о, фронт волны имеет ширину порядка длины свободного пробега.

Поведение ударной волны у преграды. Для техники безопасности имеют большое значение закономерности отражения ударной волны от неподвижной преграды. В силу относительности движения торможение газа, сжатого ударной волной, у препятствия, нормального направлению распространения волны, эквивалентно движению этой стенки в обратном направлении по неподвижному газу. При этом она как поршень повторно сжимает газ, уже сжатый исходной, падающей волной. Встреча ударной волны с неподвижной стенкой приводит к образованию отраженной ударной волны и еще более сильному сжатию газа.

Для слабых волн давление в отраженной волне вдвое больше, чем в падающей волне. При большем сжатии это различие возрастает.

Если Р₊ >> Р_о, то

, (8.23)

где: Р_- и Р₊ - давления газа соответственно в отраженной и прямой волне, так для двухатомного газа, т.е. для g = 7/5, давление в сильной отраженной волне в 8 раз превосходит давление в падающей волне.

Таким образом, отражение ударной волны от преграды может приводить к чрезвычайно высокому, хотя и кратковременному росту давления, который способен вызвать большие разрушения. Следует иметь в виду, что роль преграды, отражающей ударную волну, могут играть не только стенки сосуда или стены закрытого помещения, но и любое твердое тело, оказывающееся на пути распространения ударной волны.

Необходимо отметить, что к разрушениям промышленных и жилых зданий и сооружений может приводить уже сравнительно небольшой рост давления в ударной волне, если только волна отличается большими геометрическими размерами, т. е. действует на большие площади. Волна с амплитудой 0,35 am разрушает здания, а при нескольких сотых am выбивает окна. Человек может перенести действие ударной волны около 0,5 am, если не будет брошен ею на землю. Ускорение, полученное человеком под действием ударной волны, может быть настолько велико, что удар о землю оказывается смертельным.