Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Распространённый алгоритм решения матричного уравнения





Итак, на голову упал стандартный персонаж, состоящий из нескольких матриц, некоторых множителей и птицы счастья .

На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов:

либо , где известные матрицы.

Примечание: существует также третий вид: , но в действительности он встречается крайне редко. Тем не менее, в конце статьи я рассмотрю данный случай.

Как привести уравнение к виду или ? Все действия вы видели в Примере №1 – это перенос матриц из части в часть, «упаковывание» множителей в матрицы, матричное сложение/вычитание.

На втором шаге необходимо выразить или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно .

1) . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева(здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):

!!! Внимание! Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

По свойству матричных операций: , поэтому:

Единичную матрицу можно убрать (см. урок Свойства операций над матрицами. Матричные выражения):

Чего и требовалось достичь. Матрица нам не известна.

2) . Умножаем обе части уравнения на справа:

Согласно свойству матричных операций , получаем:

Единичную матрицу убираем:

Готово. Матрица нам опять же не известна.

Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде либо в виде . Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении. Это стандартная задача урока Как найти обратную матрицу?

На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение или , и, собственно, получаем ответ.

После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна – необходимо подставить найденное значение в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся».

Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно:

 

Решение матричного уравнения вида



…и добавить нечего =)

Пример 2

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Решение: Уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы .

Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

Ответ:

Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Следующая задача весьма любопытна, и некоторые из вас сделают для себя неожиданное открытие:

Пример 3

Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Решение: Неизвестная распложена справа от матрицы, и уравнение, очевидно, сведётся к виду . Используем уже знакомые из Примера №1 действия:



Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Обратная матрица:

Таким образом, решение уравнения:

Ответ:

Дробь красивше оставить перед вектором-столбцом, хотя вполне приемлемо записать и так: .

Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.

Напоминаю технический приём, который мы рассмотрели на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. После подстановки в левую часть уравнения, константа уютно расположилась между матрицами. В подобных случаях число необходимо вынести вперёд и разобраться с ним в самом конце – после матричного умножения.

А теперь остановимся вот на каком моменте…. Вернёмся к самому началу решения, когда мы получили матричное уравнение в виде . Задача состояла в том, чтобы найти неизвестный вектор-столбец .

Перепишем уравнение в виде и в левой части умножим матрицы по обычному правилу:

До боли знакомая картина =) Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы. Это система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

И полученный нами ответ представляет собой решение данной системы:
.

Таким образом, матричный метод решения системы – это, по сути, частный случай матричного уравнения.



Пример 4

Найти из матричного уравнения:

Проверить полученный результат.

Заметьте, что справа находится нулевая матрица а не ноль. Нулевая матрица для матриц – это аналог нуля для чисел. И её можно не записывать, после того, как вы что-нибудь перенесёте в правую часть.

Полное решение и примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

В процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц. В этом случае, пожалуйста, вернитесь к матричным выражениям и отработайте данное действие.

 

Решение матричного уравнения вида

Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями:

Пример 5

Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения.

Решение: Уравнение имеет готовый вид , что позволяет сразу же заняться «иксом».

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде ».

Матрица «бэ» известна. Берём матрицу и без комментариев исследуем обратную сторону Луны:

, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица едет во втором вагоне:

Ответ:

Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Усложним задание:

Пример 6

Решить матричное уравнение, сделать проверку:

Решение: Незнакомец расположился слева от матрицы, поэтому уравнение сводится к виду . Упаковываем множители, переносим свободную матрицу в правую часть и выполняем вычитание матриц:

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Обратная матрица:

Здесь целесообразно внести минус в матрицу. Возможно, вам надоела однообразная картинка с нахождением обратной матрицы в каждом примере, я бы вполне мог пропускать данный пункт и сразу записывать: «обратная матрица такая-то…». Нет, полное решение приводится не случайно. Это отличная возможность потренироваться! Кроме того, у некоторых студентов действительно очень низкий уровень подготовки и полный трафарет того или иного примера будет как нельзя кстати. Да и сам Гугл, глядишь, научится решать матричные уравнения =)

Находим решение:

Ответ:

Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.

Пример 7

Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

В заключение коротко рассмотрим ещё один тип матричного уравнения, который практически не встречается: , где – известные матрицы. То есть, наш партизан залёг между двумя матрицами.

Разрешим данное уравнение относительно . Сначала умножим обе части на слева:

Теперь умножим обе части на справа:

Готового примера у себя в коллекции я не нашёл, но сейчас всё равно что-нибудь подберу из этой оперы…. Вот:

Да, работёнки здесь побольше. Раза в два. Как решить данное уравнение?

– для матрицы находим обратную матрицу ;
– для матрицы находим обратную матрицу ;
– перемножаем три матрицы (см. статью про свойства матричных операций).

Желающие могут прорешать данный пример, верный ответ: .

Поздравляю ещё раз! Если вы читаете эти строки, то Конец Света так и не наступил! Конец Света как деньги – любит тишину =) На самом деле всё было так: летописцы майя составили свой календарь до дня зимнего солнцестояния 2012 года. А потом устали.

Но на всякий случай передаю привет следующей цивилизации. Когда-нибудь они откопают хорошо сохранившийся в вечной мерзлоте сервер и расшифруют нашу клинопись =)

Удачной сдачи зачётов и экзаменов!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение: Приведем уравнение к виду :

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Обратная матрица:

Решение системы:

Ответ:
Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, значение найдено верно.

Пример 7: Решение: Приведем уравнение к виду :

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Обратная матрица:
Таким образом:

Ответ:
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?


 

 


Как решить систему линейных уравнений?

 

На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходиться иметь дело практически во всех разделах высшей математики.

Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени: без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.

В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:
Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:

Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения

Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце-концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.

Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::

Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»). – Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы. –Решение системы по формулам Крамера. –Решение системы с помощью обратной матрицы. –Решение системы методом Гаусса.

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.

 






Date: 2015-07-23; view: 1975; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.015 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию