Метод инверсии

Пусть нам дана некоторая кривая М и неподвижная точка К – начало или центр инверсии. Возьмём на кривой М точку А и на прямой КА определим точку А₁ так, чтобы абсолютное значение КА·КА₁ = к², где к – есть постоянная длина, то при движении точки А по кривой М точка А₁ опишет новую кривую N, которая называется обратной или инвертированной кривой.

Пусть у нас имеется фигура, состоящая из прямых и окружностей. Если эту фигуру инвертировать, то прямые и окружности превратятся в известные прямые и окружности, или в одни окружности, которые будут пересекаться под теми же углами, как и в данной фигуре. Если какая-нибудь точка данной фигуры представляла, например, вершину какого-нибудь угла, то в обратной фигуре она представит, вообще, точку пересечения окружностей, пересекающихся под тем же углом. Словом, обратная фигура удерживает до мельчайших подробностей своеобразное сходство с данной фигурой.

Зная отображённую фигуру и положение начала инверсии, нередко можно легко отгадать форму основной фигуры; что касается её размера, то для этого нужно знать степень инверсии.

Пример 1. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY так, чтобы KX·KY = k² (k – есть данная длина).

Анализ. Искомая точка Y есть пересечение прямой ВА с прямой, инвертированной к ВС с центром инверсии К и степенью к².

Построение.

1) опустим KL ^ BC;

2) на ВС отложим LN = k;

3) проведём MN ^ KN до пересечения KL в точке М;

4) окружность, описанная на диаметре МК встретит АВ в искомой точке.

Пример 2. Даны точки А, В и С. Через В провести прямую так, чтобы расстояния АХ и CY от этой прямой удовлетворяли равенству

АХ² - СY² = к².

Решение. Из равенства (АХ + CY) (AX – CY) = k² вытекает необходимость ввести в чертёж сумму и разность AX и CY. Поэтому переносим параллельно CY в С₁Х и AC₁·AY₁ = k². Если взять за центр инверсии А и за коэффициент к², то С₁ – есть точка окружности, инвертированной к прямой DY₁; диаметр этой окружности равен АС₁. Так как точки D и J соответственные, то AD·AJ = k², что даёт возможность построить точку J. Тогда для определения точки С₁ имеем JC₁ ^ AD и окружность, диаметр которой равен АС.

Заключение

Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.

В работе рассмотрены общие положения теории формирования умения решать геометрические задачи на построение различными методами.

На основе анализа учебно-методической литературы сделан отбор материала для практических занятий по данной теме. Этот материал содержит теорию, включающую в себя основы конструктивной геометрии:

- аксиомы конструктивной геометрии;

- элементарные построения;

- основные построения.

Далее на практических занятиях были предложены основные методы решения задач на построение:

- метод геометрических мест точек;

- алгебраический метод;

- метод параллельного переноса;

- метод подобия.

В конце занятий проведён итоговый урок (контроль), который позволяет проверить теоретические знания, практические умения и навыки всех учащихся.