Метод геометрического места точек

Геометрическим местом точек называется совокупность точек, обладающих свойствами, исключительно им принадлежащими. Если задача приводится к определению точки, то можно отбросить одно из условий, которому эта точка должна удовлетворять; тогда искомая точка станет способна принять бесчисленное количество последовательных положений, и все эти положения составят геометрическое место точек, обладающих всеми требуемыми свойствами, кроме отброшенного. Фигура этого геометрического места чаще бывает нам заранее известна; в противном случае её надо определить вспомогательными построениями. Затем, приняв отброшенное условие и откинув какое-либо другое условие задачи, мы вновь увидим, что искомая точка станет способна принять бесчисленное множество новых положений, образующих новое геометрическое место. Определим фигуру этого нового геометрического места, если она нам неизвестна. Тогда искомая точка должна лежать и на первом и на втором геометрическом месте, а потому определяется их пересечением.

Иногда для определения точки достаточно построить одно геометрическое место, потому что другое дано в условии задачи. Если же искомая точка подчинена таким условиям, которые все в совокупности определяют только одно геометрическое место, то задача становится неопределённой.

Отсюда видно, как важно знать различные геометрические места. Знание геометрических мест иногда позволяет сразу видеть, где находится неизвестная точка.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Анализ. Пусть ∆АВС уже построен, тогда положение вершин В и С можно считать известным. Остаётся найти вершину А. Выясним свойства точки А. Во-первых, точка А принадлежит лучу (BA), так как дан угол АВС, во-вторых, точка А является вершиной ломанной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

На продолжении стороны ВА за точку А отложим отрезок АА₁, равный отрезку АС. Теперь можно построить треугольник А₁ВС по двум сторонам и углу между ними. В равнобедренном (по построению) треугольнике А₁АС серединный перпендикуляр к стороне А₁С пересечёт луч ВА₁ в точке А.

Построение.

1) построить ∆ВА₁С по сторонам ВС и ВА₁ = АВ + АС и углу между ними;

2) провести серединный перпендикуляр к стороне А₁С;

3) найти точку пересечения луча (BA) и построенного серединного перпендикуляра. Точка пересечения и будет искомой вершиной А.

Доказательство. В построенном ∆АВС сторона ВС, сумма сторон АВ и АС, угол В-данные.

Исследование проведём по ходу построения. Треугольник ВА₁С по двум сторонам и углу между ними можно построить единственным образом. Провести серединный перпендикуляр к отрезку А₁С – тоже единственным образом. Точка пересечения луча (BA) и серединного перпендикуляра существует и она единственная.

Пример 2. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

Анализ. Пусть ∆АВС построен, тогда положение вершин В и С можно считать известным. Остаётся найти вершину А. Во-первых, точка А принадлежит лучу (BA), так как известна разность углов В и С. Во-вторых, точка А является вершиной ломаной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

Отложим данный угол от луча ВС внутрь треугольника АВС и обозначим его через х (угол DBC обозначен через х). Тогда угол С равен Углу АВD, обозначим его через у. На продолжении стороны СА за точку А отложим отрезок АА₁, равный отрезку АВ и построим треугольник СВА₁. Найдём углы:

угол А₁АВ равен х + 2у,

угол АВА₁ = , тогда

угол А₁ВС равен .

Построение.

1) построить ∆А₁ВС по углу А₁ВС, сторонам ВС и СА₁;

2) построить серединный перпендикуляр к отрезку А₁В;

3) найти точку пересечения А построенного серединного перпендикуляра со стороной А₁С.

Точка пересечения и является искомой вершиной А.

Доказательство очевидно.