Метод подобия

Основная идея метода подобия состоит в следующем:

Сначала строят фигуру, подобную искомой так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, подобную искомой и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные-либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была подобна не только искомой, но и подобно расположена с ней. Успех решения зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c,… фигуры Ф соответствуют отрезки a₁, b₁, c₁,… подобной фигуры Ф₁, то коэффициент подобия равен также отношениям:

Пример 1. Дан Ð АВС и внутри его точка М. Найти на стороне ВС точку Х, расположенную на одинаковом расстоянии от прямой АВ и от точки М.

Анализ. Пусть точка Х найдена так, что перпендикуляр ХY = МХ. (рис.12)Задача сводится к построению фигуры YХМ. Представим целый ряд фигур, подобных искомой фигуре. Достаточно построить одну из этих фигур, например РКN, так как останется провести из точки М прямую параллельную КР и задача будет решена.

Для построения фигуры РКN замечаем, что В есть центр подобия искомых фигур, и поэтому точки М, H, К и В лежат на одной прямой ВМ и PN ^ АВ, PN = BN, положение же точки Р произвольно. Поэтому для построения фигуры PKN надо в произвольной точке Р восстановить PN ^ АВ, из центра N описать радиусом PN дугу, которая пересечёт ВМ в точке К. Проводя МХ ║КN, можно определить искомую точку Х.

Построение.

1. ЕG ^ AB;

2. H = ω (G, EG)ÇBM;

3. MX ║ HG;

4. X = BCÇMX.

Доказательство. Опустив перпендикуляр ХY, из подобия треугольников находим МХ: GH = BX: BN = XY: GE, откуда МХ: GH = =XY: GE, но так как по построению HG = GE, то МХ = YX.

Исследование. Задача всегда возможна и имеет два решения, так как дуга из центра G встречает ВМ всегда в двух точках.

Пример 2. В данный треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на прямой AB и еще по одной на сторонах AC и BC.

Анализ. Построение. Данный треугольник ABC изображен на рис 13. С помощью циркуля и линейки нужно построить квадрат DEFG, расположены так, как показано на рисунке.

Сначала построим какой-нибудь квадрат, у которого две вершины лежат на прямой АВ и еще одна – на стороне АС. С этой целью возьмем произвольную точку Е1 на стороне АС, проведем перпендикуляр E₁D₁ к прямой АВ и далее построим квадрат.

Доказательство. В самом деле, из подобия треугольников AE₁F₁ и AEF следует, что

А из подобия треугольников AF1G1 и AFG получаем:

Следовательно,

А так как E1F1 = F1G1, то EF=FG.

И так, в прямоугольном треугольнике DEFG смежные стороны равны, значит этот прямоугольник квадрат.

Исследование. Задача всегда имеет одно решение, это следует из доказательства.