Тема 8 .Элементы теории статистических решений

При решении многих экономических задач, задач планирования и управления производством проблема принятия решений резко усложняется из-за различного вида случайных факторов, к которым чаще всего относятся условия проведения операций. Кроме того, операции часто являются многоцелевыми, при этом возникает вопрос, какому из критериев отдать предпочтение (обычно для разных критериев различно и решение).

Во всех этих случаях приходится принимать решение в условиях неопределенности, возникающей из-за недостатка (отсутствия) информации либо об условиях проведения операции, либо о целях операции. Естественно, в этих ситуациях принятие решения более сложно, и точные математические методы не всегда дают однозначный результат. Однако и в этих условиях использование методов экономико-математического моделирования позволяет глубже разобраться в задаче, свести к минимуму элементы риска и волюнтаризм.

Задачи обоснования решений в условиях неопределенности изучаются теорией игр и статистических решений. Причем теория игр используется для анализа конфликтных ситуаций, в которых противодействуют (обычно активно) различные стороны, а теория статистических решений применяется в ситуациях, когда неопределенность рождена условиями задачи. В этих задачах нет активного противника, противодействующего нашим планам. Его роль выполняет природа, являющаяся условным противником, поведение которого неизвестно, хотя элемент противодействия отсутствует. Подобные ситуации называются "играми с природой".

Рассмотрим основную задачу теории статистических решений в общем виде и затем на конкретном примере.

Имеется несколько вариантов решения какой-либо задачи (А₁, A₂,.... А_n ) Эффективность каждого варианта, помимо известных нам факторов, определяется также рядом факторов (условий), точное значение которых неизвестно (климат, геология месторождения, спрос на продукцию и цены на оборудование в перспективе и т.д.). Определенным предположениям о значениях (состояниях) случайных факторов (состояния природы П₁, П₂,,..П_m) соответствуют различные показатели вариантов решения задачи.

Обозначим через Z показатель решения задачи при использовании варианта i состояния природы j. Показатели для различных вариантов решений А при возможных состояниях природы j задаются матрицей a_ij;

Требуется найти решение задачи, т.е. такую стратегию A_i, которая более предпочтительна по сравнению с остальными. Под этим понимается совокупность правил, определяющих выбор варианта действий; принятая стратегия однозначно определяет вариант.

Матрица a_ij называется платежной, или матрицей выигрышей. Часто для решения задачи используют матрицу рисков (сожалений), которая может дать более наглядную картину для оценки вариантов действий. Риск представляет собой разность между максимальным выигрышем при определенном состоянии природы (т.е. выигрышем, который был бы получен, если было бы известно состояние природы) и выигрышем, полученным при стратегии i.

Задача 8.1. Составить матрицу рисков для платежной матрицы, приведенной в таблице.

Методические указания к решению.

Максимально возможные выигрыши составляют: при первом состоянии природы M₁ = 12, втором - M₂ = 11, третьем - M₃ = 11, четвертом M₄ =9. Отнимая от этих значений последовательно (по столбцам) элементы платежной матрицы, получим матрицу рисков. Например.11-9=2. Матрица рисков приведена в таблице.

Выбор решения начинают с сопоставления стратегий. При этом проверяется, не имеется ли стратегии лучших при любых состояниях природы (доминирующих).

В рассматриваемом примере, сопоставляя стратегии 1 и 3, можно заметить, что выигрыши при А₃ больше или равны выигрышам при А₁ для любых состояний природы. Значит, использование стратегии А₃ лучше (или иногда одинаково, но всегда не хуже), чем А₁. В этом случае говорят, что третья стратегия доминирует над первой, которую вообще можно исключить из рассмотрения.

Возможны случаи, когда одна стратегия доминирует над всеми, тогда принятие решения тривиально. Если доминирующие стратегии отсутствуют, то в зависимости от состояния природы (которое нам не известно) эффективны и различные варианты решений. Например, при первом состоянии природы эффективен второй вариант, при втором состоянии - пятый и т.д.

В подобных случаях для принятия решения используют различные критерии оптимальности.

Наиболее просто решается задача, если имеется информация о вероятностях состояния природы (p_j причем S p_j = 1). В этом случае в качестве критерия используется математическое ожидание выигрыша (или риска), т.е. выбирается решение, при котором S a_ijp_j ®max (min).

В такой постановке задача принятия решения в условиях неопределенности сводится к задаче принятия решении в условиях риска. Принятое решение оптимально при многократном повторении операции, т.е. в среднем.

Задача 8.2. Найти оптимальное решение задачи, платежная матрица которой приведена в таблице примера 8.1, если вероятности состояния природы составляют:

Р₁=0,2; Р₂ =0.4; Р₃=0,3; Р₄=0,1.

Методические указания к решению

Подсчитаем среднее значение выигрыша, при этом первую стратегию не рассматриваем, так как она, как ранее установлено, хуже третьей:

М₁=10*0,2 +8*0,4 +7*0,3 +6* 0,1=7,9;

М₂=12*0,2 +7*0,4 +4*0,3 +9* 0,1=7,3;

М₃=10*0,2+9*0,4+8*0,3+6*0,1=8,6;

М₄=9*0,2 +10*0,4 +11*0,3 +5*0,1=9,6;

М₅= 7*0.2+11*0,4+8*0,3+8*0,1 =9.

Итак, при принятом распределении вероятностей лучшей является четвертая стратегия: при ее использовании математическое ожидание выигрыша максимально.

В случаях, когда вероятности состояния природы неизвестны и их нельзя получить с достаточной степенью точности, используют критерий Лапласа, базирующийся на принципе недостаточного основания. При этом состояния природы считаются равновероятными, т.е. Р₁.=Р₂=...=Р_n =Р.

В рассматриваемом примере критерии Лапласа для 4 состояний природы Р=0,25:

М₁=10*0,25 +8*0,25 +7*0,25 +6* 0,25=7,75;

М₂=12*0,25 +7*0,25 +4*0,25 +9* 0,25=8;

М₃=10*0,25+9*0,25+8*0,25+6*0,25=8,25;

М₄=9*0,25 +10*0,25 +11*0,25+5*0,25=8,75;

М₅= 7*0.25+11*0,25+8*0,25+8*0,25 =8,5.

Итак, по критерию Лапласа в рассматриваемом примере лучшая – третья стратегия.

Помимо критерия Лапласа используют и другие подходы к определению вероятностей состояния природы, в частности - экспертный, широко применяемый в прогнозировании. В последнее время для решения динамических задач планирования и управления все более часто используется байесовский подход (критерий Байеса), основанный на последовательном пересчете вероятностей состояния природы (апостериорных вероятностей) в зависимости от прошлых (или принятых ранее) состояний (априорных вероятностей).

Во всех случаях оценки вероятностей состояния природы решение является оптимальным только относительно принятого распределения вероятностей состояний.

Существуют и другие подходы и критерии к принятию решений в условиях неопределенности, используемые, когда нельзя получить распределение вероятностей состояний природы.

Наиболее широко распространены критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

При использовании максиминного критерия Вальда для каждой стратегии находят минимальное значение выигрыша, соответствующее наихудшему для нас в данном случае состоянию природы, т.е. min а_ij ,. Далее из всех возможных стратегий выбираем ту, для которой минимальный выигрыш максимален. Критерий Вальда является пессимистическим, при его использовании ориентируются на наихудшее для нас состояние природы, т.е. по существу природа рассматривается как активно противоборствующий противник.

Другая разновидность пессимистического подхода - использование критерия Сэвиджа. В этом случае находят минимальное значение риска при самом неблагоприятном состоянии природы С этой целью для каждой стратегии (построчно) по матрице рисков находят максимальные значения риска, а затем выбирают из них минимальное.

Критерий Гурвица является комбинированным, учитывающим как оптимистический, так и пессимистический подходы. При использовании этого критерия состояние природы берется не самым худшим и не самым лучшим, а некоторое промежуточное. При этом за оптимальную принимается стратегия, при которой F=k min а_ij„ + (1-k) max a_ij, где k - коэффициент, характеризующий долю пессимизма и оптимизма (изменяется от 0 до 1).

Коэффициент k выбирается по субъективным соображениям: чем более сложная ситуация и необходимо застраховаться, тем k ближе к единице. При k=1 критерий Гурвица преобразуется в критерий Вальда.

Критерии Вальда и Сэвиджа используют при принятии разовых и ответственных решений, а Гурвица, Лапласа и Байесса - при менее ответственных, когда ситуация (задача) повторяется многократно (например, при оперативном планировании).

Поясним использование различных критериев принятия решения в условиях неопределенности на примере.

Задача 8.3. В связи с дефицитностью сырья необходимо принять решение о мощности рудника, не ожидая окончания детальной разведки. Разведанные запасы месторождения (точнее их математическое ожидание) составляют 40 млн. т. Так как точность подсчета запасов по категории С составляет ±100%, реально запасы могут изменяться от 20 до 80 млн. т. Рассматриваются возможные варианты запасов: 20, 30, 40, 60 и 80 млн. т (соответственно 1 - 5 состояния природы) и возможности строительства рудника мощностью 2, 3, 4 или 5 млн. т (соответственно 1 - 4 стратегии). Для каждого варианта мощности при рассматриваемых состояниях природы (вариантах запасов месторождения) подсчитаны (с учетом фактора времени) возможные значения суммарной приведенной прибыли.

Отрицательное значение прибыли, наблюдаемое в ряде случаев, показывает, что в связи с неподтверждением запасов и большими капиталовложениями эксплуатация месторождения убыточна.

Методические указания к решению

Для принятия окончательного решения о мощности рудника требуется рассчитать критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа и математическое ожидание прибыли, задаваясь вероятностями состоянии природы (по аналогии с другими месторождениями).

1. Критерий Вальда. В каждой строке берем минимальную прибыль. Во всех случаях в данном примере она соответствует состоянию природы 1 (т.e. когда запасы не подтверждаются максимально). По критерию Вальда наилучшая стратегия 1, при этом потери минимальны (- 10 млн.руб.).

2.. Критерии Сэвиджа - построим матрицу рисков. Максимальное значение прибыли для различных состояний природы (по столбцам) составляет - 10, 50, 80, 130 и 165 млн. руб. Отнимая oт них значения прибыли для различных стратегий, получим матрицу рисков:.

В дополнительном столбце матрицы рисков показывается максимальное значение риска (потеря) для каждой стратегии. Минимальное значение риска (70) наблюдается при использовании стратегии 2. В этом случае (при строительстве рудника мощностью 3 млн. т) потери прибыли из-за недостатка информации не превысят 70 млн. руб. Итак, по критерию Сэвиджа наилучшая - стратегия 2.

3. Критерий Гурвица. Допустим, что уменьшение и увеличение запасов равновероятно, т.е. k = 0,5. Максимальное значение выигрыша в данной задаче во всех случаях соответствует максимальному количеству запасов (состояние природы 5) и соответственно для различных стратегий равно 72, 105, 150 и 165 млн.руб.

Тогда значение критерия Гурвица для различных стратегий равно

Г1=-10*0,5+72*0,5 =31,0;

Г2= -40*0,5+105*0,5 =32,5;

Г3=-65*0,5+150*0,5=42,5;

Г4=-85*0,5 +165*0,5 =40,0.

По критерию Гурвица (при k =0,5) наилучшая - стратегия 3, т.е. строительство рудника мощностью 4 млн.т.

4. Критерий Лапласа. При равной вероятности различных состояний природы (p= 0,2) математическое ожидание прибыли при различных вариантах мощности рудника составит:

Л₁=(-10)*0,2+50*0,2+65*0,2+70*0,2+72*0,2 =49,4;

Л₂= (-40)*0,2+(-20)*0,2 +80*0,2+100*0,2 +105*0,2 =44,5;

Л₃= (-65)*0,2 +(-45)*0,2 +55*0,2 +120*0,2+150*0,2 =43,0;

Л₄=(-85)*0,2 +(-65)*0,2 +35*0,2 +130*0,2 +165*0,2 =36,0.

Лучшая по критерию Лапласа - стратегия 1.

5. По аналогии с другими месторождениями (обычно наблюдается нормальный закон распределения ошибки подсчета запасов) примем вероятности состояния равными соответственно 0,12; 0,25; 0,3; 0.25; 0,08. Тогда математическое ожидание прибыли при различных вариантах мощности рудника составит:

Л₁=(-10)*0,12+50*0,25+65*0,3+70*0,25+72*0,08 = 54,06;

Л₂= (-40)*0,12+(-20)*0,25 +80*0,3+100*0,25 +105*0,08 = 47,6;

Л₃= (-65)*0,12 +(-45)*0,25 +55*0,3 +120*0,25+150*0,08 = 39,45;

Л₄=(-85)*0,12 +(-65)*0,25 +35*0,3 +130*0,25+165*0,08 =29,75.

При принятом распределении вероятностей состояний природы лучшая - стратегия 1.

Таким образом, по критериям Вальда, Лапласа и при принятом распределении вероятностей состояний природы лучшая - стратегия 1 (вариант строительства рудника мощностью 2млн. т), по критерию Сэвиджа - 2, а по критерию Гурвица - 3. Если учитывать, что принимается ответственное, разовое решение, а также ограниченность капитальных вложений и возможность дальнейшего поэтапного наращивания мощности рудника (с уточнением запасов), то для рассматриваемой задачи предпочтение в целом следует, видимо, отдать стратегии 1.