Месопотамская система чисел

Жители Междуречья первыми придумали письменность, астрономию, математику (алгебру и геометрию), календарь и систему мер и весов, бухгалтерию и деньги.[11] Ещё в убейдский период (ок. 3800-5500 гг. до н.э.) месопотамские архитекторы были знакомы со множеством геометрических принципов, такими как треугольники 1:2, 1:4, 3:5, 3:4:5 и 5:12:13 для планировки зданий,[12] а примерно к 3000 г. до н.э. писцы работали с невероятно большими и малыми числами.[13] Жители Междуречья с помощью очень сложных и интересных вычислений первыми пришли к логарифмам и экспонентам,[14] они умели решать системы линейных и квадратных уравнений с двумя и более неизвестными,[15] и вычислили число «пи» с точностью в 0,6%.[16] Так называемую теорему Пифагора больше, чем за 1000 лет до Пифагора придумали жители Междуречья, и им она была известна не только для частных случаев, но и в полном общем виде.[17]

Шестидесятеричное счисление

Математические тексты шумеров или вавилонян (народов, живших в Южном Междуречье) показывают, что эти люди как минимум к периоду Урука (ок. 3100 г. до н.э.) регулярно пользовались шестидесятеричной системой счисления. Наряду с числами 60 и 10, на которых была основана их комбинированная шестидесяти-десятеричная система, число 6 использовалось также в особой «двухшестидесятеричной» системе.[18] У нас всё ещё остались элементы месопотамской шестидесятеричной системы в виде деления круга на 360 градусов, градусов и часов на 60 минут, а минут на 60 секунд. Месопотамская шестидесятеричная основа счёта времени была отражена также в их году по 360 (60 x 6) дней, в котором нехватка дней в реальном 365-дневном году восполнялась за счёт добавления раз в шесть лет «13-ого месяца» (он назывался ити дириг).[19] Шестидесятеричная система (с основанием 60) дала шумерам возможность построить семейство очень взаимосвязанных систем измерения с цепочками встречающихся в природе стандартных единиц, с которыми было легко обращаться при вычислениях.[20]

Единственным недостатком шумерской системы счисления была её неоднозначность. Шумеры записывали свою систему чисел клинописью – набором клинообразных знаков, выдавленных в глиняные табличках. Хотя вавилоняне разработали важный принцип «позиции» (обозначение разряда по месту) при записи чисел, абсолютное значение цифр, выдавленных на клинописных табличках, оставалось делом изощрённых догадок.[21] Ещё одна неопределённость возникла из-за того, что пустое место в клинописном тексте иногда могло обозначать ноль (у жителей Междуречья не было знака для нуля).[22] На практике такие неоднозначности для месопотамских писцов серьёзными не были, ведь разряд величины и позиция цифр можно было понять по контексту таблички (напр., из того, обозначены ли порции ячменя, серебряные кольца или что-то ещё). Однако, такие контекстуальные неоднозначности могли создавать путаницу для более поздних еврейских переписчиков Библии, которые не были знакомы с шестидесятеричной системой и её особенностями.

Несмотря на присущие шестидесятеричной системе счисления жителей Междуречья сложности, когда дело заходит о понимании сроков жизни праотцев, они не считаются важной проблемой. Самыми важные соображения в этом отношении касаются месопотамских представлений о священных числах.

Священные числа

В мировоззрение жителей Междуречья входило два представления о числах: (1) числа могли иметь реальное значение, (2) числа могли быть символическим описанием священного. «Реальные» числа использовались в повседневных административных и хозяйственных делах – в бухгалтерии и торговле (квитанции, займы, распределение товаров, измерения и пр.), в строительстве (архитектура), в военных делах и налогообложении. Но определённы числа шестидесятеричной системы, такие как соссос (60), нерос (600) и сарос (3600) занимали в вавилонской математике и астрономии особое место.[23] В религии основным богам Междуречья были присвоены числа соответственно их месту в божественной иерархии. Например, Ану, глава месопотамского пантеона богов, был обозначен числом 60, самым идеальным числом в иерархии. Кроме того, жители Междуречья иногда использовали числа криптографически; напр., имена могли иметь соответствующее числовое значение. Так, во время строительства его дворца в Хорсабаде Саргон II сказал: «Я построил городскую стену окружностью 16283 локтя, по числу моего имени».[24]

Как минимум, с конца III тысячелетия до н.э. «священные числа» использовались в делах религиозных по отношению к богам, царям и высокопоставленным лицам. Как имя имело для древних особое значение (напр. Ной, Быт. 5:29), а не просто было именем, так и число само по себе могло иметь смысл. То есть, числа в древних религиозных текстах могли указываться с нумерологическими целями, а не для обозначения количества или порядкового номера.[25] С нумерологической точки зрения, основанием и целью использования числа могло быть его символическое значение, а не его обычное значение в системе счисления. Одно из религиозных соображений древних при употреблении чисел могло заключаться в том, чтобы сделать так, что любая схема нумерации срабатывала бы нумерологически; т.е. что были бы использованы и получались при сложении нужные символические числа. Это категорически отличается от повседневного употребления чисел, при котором главной заботой было то, чтобы числа давали арифметически верную сумму. На это можно взглянуть и так: священные числа, использовавшиеся жителями Междуречья, придавали важным лицам или литературному тексту своеобразное религиозное достоинство или вызывали к ним уважение.

Священные числа также были встроены в месопотамское представление о симметрии и гармонии, которое было в сердце их понимания жизни. Важно было ассоциировать свою жизнь с правильными числами и избегать неправильных, которые могут принести дисгармонию (что-то вроде китайского представления об инь и ян). Символические числа сильнее всего ценились в религиозных текстах, так как они считались носителями высшей истины и реальности. Какой же была для жителей Междуречья «самая-самая» единица – число, вокруг которой вращалась вся их математическая система? Это было число 60 (и в меньшей степени число 10), или какое-либо сочетание этих двух чисел (напр., 60÷10 = 6; 60 x 10 = 600).[26] Поскольку 60 считалось фундаментальной единицей шестидесятеричной системы, неудивительно, что его стали воспринимать как священное.