Построение начального приближения

Все рассмотренные нами методы итерационные. Для них нужно начальное приближение, чтобы построить последо­вательность точек, сходящуюся к минимуму. Разные мето­ды предъявляют и разные требования к начальному при­ближению. В методах безусловной оптимизации, как пра­вило, можно взять любое начальное приближение, если из­вестно, что нет локальных минимумов. В противном случае можно получить решение далеко от точки глобального ми­нимума. Если известно и число локальных минимумов и их приближенные значения, то задачу следует решать много­кратно, начиная из точек, близких к очередному локально­му минимуму

В задачах с ограничениями, если мы не можем по смыс­лу задачи указать хотя бы одну допустимую точку, можно прибегнуть к решению вспомогательной задачи.

Для построения начального приближения можно ис­пользовать и метод штрафных функций, исключив из рас­смотрения исходную целевую функцию и минимизируя просто сумму квадратов невязок в ограничениях.

Для этого задачу достаточно решить один раз. При этом можно получить не только граничную, но и внутреннюю точку, если ужесточить ограничения, приняв вместо c_j(x) <=0 c_j(x) <= -ε.

На практике встречаются задачи, в которых все ограни­чения можно разделить на две группы, так что для части ограничений (группа 1) легко указать допустимую точку, но она не удовлетворяет другим ограничениям (группа 2). То­гда в штрафную функцию можно включить квадраты невя­зок только в ограничениях группы 2, взять начальное при­ближение, удовлетворяющее всем остальным ограничени­ям, и решать задачу минимизации штрафной функции при ограничениях группы 1. Решение этой вспомогательной задачи будет начальным приближением для исходной зада­чи. Такой прием оказывается эффективным, если мы умеем хорошо работать с ограничениями группы 1, например, при линейных ограничениях можем легко вычислять соответст­вующие проекции.